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关键词： 常微分方程   数值解法   RIA   Flex  

摘要： 目前科研和教育领域中的分析系统存在数据处理能力弱、人机交互体验差等诸多问题。针对实际需求,分析了常微分方程数值求解分析系统的整体结构和系统各模块的功能,利用改进的求值算法和各种数值解法在Flex平台上对系统进行设计,实现了常微分方程的数值求解与分析功能。系统对常微分方程数值解法的教学、科研工作具有积极的意义。

关键词： 常微分方程   径向基函数   Galerkin法   无网格  

摘要： 用径向基函数来构造Galerkin型无网格法是一种新型的数值算法,各种数值方法均得到广泛的应用。将其应用于求常微分方程中的两点边值问题,通过对算例中近似解与数值解产生的误差对比,说明用径向基函数Galer-kin法稳定性好,且计算精度较高,是一种有效的求解方法。

关键词： 民族地区综合性大学   常微分方程   教学探析  

摘要： 本文提出了常微分方程"讲背景、讲思想、讲方法"的教学理念,将数学问题产生的背景、求解的思想和方法渗透到日常的教学中,与学生的生活经验联系起来,再将实际问题加以简化并抽象为常微分方程定解问题。引导学生提出求解思想和发现求解方法,结合教师的科研工作,巧妙、自然地引领学生进入学科前沿。激发了学生的兴趣,较好地实现了常微分方程的教学目标,形成了"模型化"的教学模式,编写出版了富有特色的教材,实现了教学上的返璞归真。

关键词： 二阶非线性常微分方程组   周期边值问题   正解   存在性  

摘要： 非线性微分方程特定边值问题解的存在性及其性质的研究无论是偏微分方程还是常微分方程都已经取得相当丰富的成果,由于与物理学等其他学科的紧密联系,国内外大量的数学家,物理学家都研究过此类问题并且有越来越多的学者仍然不懈的探索,并且得到广泛且深刻的结论.这些结论所依赖的理论丰富奥妙,例如各种著名的不动点定理,别出心裁的迭代方法,纷繁复杂的估计,还有更深刻的如拓扑度理论等.本文的主要思路是在以前大量工作的基础之上利用著名的Krasnosel\'skii不动点定理与Leray-schauder不动点定理以及构造函数列迭代的方法证明一类二阶非线性常微分方程组系统周期边值问题解的存在性.\n 本文讨论的二阶非线性常微分方程组周期边值问题具有以下形式:其中t∈[0,2π],λ＞0为参数,fi＞0是连续的.我们知道方程组系统中的两个方程的Green函数均存在,我们假设第一个方程的Green函数不变号恒大于零,第二个方程的Green函数变号.由[11]我们知道在Lp[0,2π]空间中,当α1满足:0＜||α1||p≤K(2p*),第一个方程的Green函数不变号恒大于零,α2满足:K(2p*)＜||α2||p＜∞,第二个方程的Green函数变号.其中K(2p*)是最优Sobolev常数,p*是p∈[1,+∞]的对偶常数.\n 这个问题正解存在性的讨论主要是在以前大量工作的基础之上所作出的进一步的研究,关于正解的存在性的结论我们在本文中得到三个,其证明的主要思路的主要的参考文献是[2,8,9,13].

关键词： 微分方程   通解   奇解  

摘要： 对几个典型一阶常微分方程的通解进行分析,得出高等数学中定义的微分方程通解并不包含该方程的所有解.从而说明一阶常微分方程奇解的存在性.

关键词： 3阶齐次线性常微分方程   球面解曲线   几何性质  

摘要： 首先给出3阶齐次线性常微分方程的球面解曲线的定义,然后讨论其球面解曲线与系数函数的关系,最后给出了球面解曲线的几何性质.

关键词： 一类广义线性常微分方程解   存在性   Kurzweil积分理论   广义常微分方程  

摘要： 本文借助Kurzweil积分理论,讨论了广义线性常微分方程边值问题解的存在性.同时,又利用有界变差函数的性质,讨论了广义线性常微分方程周期解的存在性.最后,将***,***等人建立的Φ-有界变差函数理论与Banach空间中广义常微分方程理论结合起来,讨论了Banach空间中广义常微分方程的Φ-有界变差解的存在性.

关键词： 三阶拟线性常微分方程   非振动解  

摘要： 本文主要讨论了三阶拟线性微分方程：（p（t）︱u′︱α-1 u′）″＋q（t）︱u︱β-1=0当t→∞时,它满足∫a∞（1/（p（t1））1/α）=∞条件的特殊非振动解存在的充分必要条件。其中α〉0,β〉0,p（t）和q（t）在区间[a,∞）上连续,且当t≥a时p（t）〉0,q（t）〉0。

关键词： 三角配置   常微分方程   数值积分  

摘要： 高振荡微分方程大量存在于天文学、量子力学、生物化学、分子动力学、生物学等领域.由于大部分振荡微分方程的解析解难以得到，所以对其数值解法的研究显得尤为重要.虽然对于微分方程数值解的研究已经有了丰富的成果，如Runge-Kutta方法，Nystr(o)m方法和线性多步法等，但是这些基于Taylor级数分析的传统方法并不能有效地求解高振荡问题.最近10多年来数值分析学家们已经对高振荡数值积分以及高振荡微分方程数值解做了大量的研究，形成了一系列的理论和方法.已经被证明为有效的方法主要有:渐近方法，Filon-型方法，Levin-型方法，最速下降法等.本文前人工作的基础上，发展了若干新方法和新技巧.\n 作为本文工作的起点，第一章概述了现有的理论结果以及数值方法.主要包括:求解高振荡积分的渐近方法(asymptotic method)，Filon-型方法(Filon-type method)以及Levin-型方法(Levin-type method);求解线性高振荡微分方程的渐近方法(asymptoticmethod)和Filon-型方法;求解非线性高振荡微分方程的波形松弛Filon-型方法(wav-form relaxation Filon-type method);指数拟合方法的误差分析.\n 第二章建立了求解一阶振荡微分方程y\'=f（x，y）初值问题的三角配置法.基本思想是用三角多项式来逼近振荡微分方程的解.首先证明了三角配置多项式等价于一类Runge-Kutta方法，并导出系数表达式，其形式与传统的配置法类似.然后导出了三点三角配置法的系数，分析了相应的误差.实验结果表明新的三角配置法优于传统的方法，包括Matlab软件包中求解微分方程的方法ode113.\n 第三章对线性高振荡微分方程组提出了基于绝热变换的复节点Filon-型方法.首先通过变换将高振荡微分方程y\'(x)=Aωy(x)+f(x)转化成一个非高振荡的一阶微分方程组η\'(x)=exp(-i(Φ)(x))Q-1f(x)并在区间[xn，xn+1]上积分.对Q-1f(x)的不同分量，在区间端点附近选取不同的节点，在选取的节点上分别作各个分量的Hermite插值多项式，在积分式中以插值多项式代替原函数精确积分.二阶高振荡微分方程组y\"+ω2y=f(x)的初值问题等价地转换成一阶初值问题求解.实验结果表明我们的方法优于传统的Filon-型方法.\n 第四章对二阶高振荡微分方程组考虑两步Levin-型方法.通过常数变易法给出方程的解在连续三个时间点处值的关系，将问题转化为一个高振荡积分.首先用Levin-型方法求解这个高振荡积分，继而导出了求解微分方程的数值格式，并给出了相应的误差分析.\n 最后简要地总结了对本文的主要工作，并提出了未来研究的课题.

关键词： 常微分方程   间断有限元   变系数   奇异摄动   超收敛  

摘要： 奇异摄动常微分方程的初值问题出现在很多领域，比如：科学技术和经济领域等。也曾用其他方法求解：如差分法，谱方法和连续有限元法.最近几年发展的间断有限元方法(DG法)的应用非常广泛，人们也越来越热衷于用此方法来求解各类方程.它最大的优点是逼近解很稳定，不出现振荡现象；其次是精度高，有超收敛性；而且还有一个特征是降低了对解的光滑性要求，这也是将它运用于解决其他各种数学物理等问题的巨大推动力。\n 本文讨论用m次间断有限元(DG)解变系数奇异摄动常微分方程初值问题∈μχ+b(χ)μ=(χ)，μ(0)=μ0，b(χ)=1-χ，χ∈J=[0,1]。问题有新的特点：1.是变系数b(χ)=1-χ，且在右端点χ=1处为0；2.有双重奇异性，在问题中，χ=0为边界层，而χ=1为转点，有内边界层，解有μ=O(∈-1/2).在奇点χ=0的边界层，确定τ=(m+1)∈|ln∈|/b(0)，如常系数情形相同，m次DG仍为Radau点结构.但在χ>τ时遇到本质的新困难。\n 本文主要工作及创新点如下：\n 1.将讨论区间(0,1)分为3段：奇异段J0=(0，τ)，τ=(m+1)∈｜ln∈｜/b(0)，确定，光滑段J1=(τ，1-T)，T=c√∈及内边界层J2=(1-T，1).基于解的表示，研究在各段的正则性质。\n 2.正确地划分了内边界层厚度τ=√cN∈，N是剖分数，c可以根据推导确定.按理论分析的启示，在J1段采用了变步长hj=hb(χj)，使DG在J1段保持了Gauss点超收敛阶O(hm+2)。\n 3.在确定内边界层的厚度T后，在J2段采用了均匀网格计算，使DG结果表明为Radau点结构。