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关键词： 计算数学   常微分方程的数值解法   中心支持向量机(P-SVM)   二阶常微分方程   回归模型  

摘要： 微分方程的计算求解在计算机工程上有重要的理论意义和应用价值。针对传统数值解法计算复杂度高、解的形式离散等问题,本文基于微分方程的回归方程观点与解法,应用统计回归方法求解二阶常微分方程,并给出基于中心支持向量机(proximal support vector machine,P-SVM)在常微分方程的初值和边值问题上的近似解求法。通过在目标优化函数中添加偏置项,构建P-SVM回归模型,从而避免大规模求解线性方程组,得到结构简洁的最优解表达式。模型通过最小化训练样本点的均方误差和,在保证精度的同时,有效提高了近似解的计算速度。此外,形式简洁固定的解析解表达式也便于在实际应用中进行定性分析和性质研究。数值试验结果验证了P-SVM方法是一种高效可行的常微分方程求解方法。

关键词： 数学建模思想   数学基础课   常微分方程  

摘要： 培养学生的数学建模思想可以提高学生解决实际问题的手段和能力。在各门数学基础课程的日常教学过程中,逐渐渗透数学建模思想是培养学生建模能力的重要环节。常微分方程作为一门重要的数学学科基础课程,有较好的实际应用背景,在该课程中渗透数学建模思想,学生能够更好地理解和解释某些自然现象和实际问题,从而更好地理解周围的世界。

关键词： 计算数学   非线性互补问题   正则化方法   常微分方程   连续牛顿法   信赖域更新策略  

摘要： 本文主要研究了求解非线性互补问题的正则化连续方法。首先,研究通过引入Fischer-Burmeister函数和磨光滑化技术,将非线性互补问题转化为非线性方程组。然后,从传统的阻尼牛顿法出发,将隐式欧拉法应用到非线性方程组的连续牛顿流,从而得到一类连续牛顿法。最后,通过引入信赖域的思想,设计了一类基于信赖域更新策略的连续牛顿法求解非线性互补问题转化的非线性方程组,并将该互补问题算法与主流商业软件GAMS中的互补问题求解器做了数值实验比较。数值结果表明,本文所提出的非线性互补问题算法(简称CNMFN)比GAMS中的PATH和MILES求解器更健壮,且对于大部分的测试算例,CNMFN也比PATH和MILES求解器更高效。

关键词： 常微分方程   多元融合   教学模式  

摘要： 在互联网开放教育资源共享的背景下,传统线下课堂教学已无法满足现代高校的教学需求。随着信息教育技术的快速发展,“线上”+“线下”多元融合教学模式已成为各大高校的主流。根据常微分方程课程的特点,通过分析当前教学模式中所存在的问题,提出了“线上”+“线下”多元融合教学模式的有效方案。

关键词： 常微分方程   课程思政   Python软件   教学案例  

摘要： 常微分方程课程教学中融入课程思政元素是教学改革之应然。探讨课程内容与课程思政的结合的新方式,基于Python语言,设计了求解常微分方程初值问题解存在唯一性定理的皮卡逼近序列的程序,另外编写代码解决了导弹追踪过程中建立的追线模型的计算问题。通过这两个案例求解方式的转变来体现课程思政与课程结合的具体过程,实现知识传授、价值塑造和能力培养的多元统一,并对常微分方程课程融入课程思政元素的途径给出一些建议。

关键词： 常微分方程   梯度下降法   复化梯形求积公式   多目标优化   型边值问题   混合型边值问题  

摘要： PM算法是一种常微分方程初值问题非传统数值解法。为将该算法推广至两点边值问题,作出了如下改进:首先,提出“分离原理”将常微分方程组对应的多目标优化问题转化为多个相对独立的单目标优化问题,进而为引入边界误差训练提供理论基础;随后,在一阶常微分方程组的形式下,发现了二阶常微分方程Ⅰ/Ⅱ型边值问题计算格式的等价性;最后,构造了“保持导数关系假设初值条件”和“引入独立参数逼近初值条件”两种技术方案,完成了对Ⅰ/Ⅱ/Ⅲ型和混合型边值问题的数值求解。

关键词： 常微分方程   数学建模   讲授过程   爱国情怀   教改建议   指导思想   后续课程   形式灵活  

摘要： 将数学建模思维贯穿到常微分方程的讲授过程中,不仅体现了其他科学技术的发展对常微分方程课程的形成与完善起着至关重要的作用,极大的丰富了常微分方程的实践,也体现了在数学建模的实施中以解决实际问题为核心,以能力培养为目的这一指导思想,在课堂上同时注重数学思想、文化、辩证法、爱国情怀的渗透。在后续课程数学建模的教学上,学生普遍感觉涉及面广,形式灵活,无从下手,因此本文的教改建议也是对数学建模教学的铺垫和引入。

关键词： 二阶常微分方程   非线性导数项   正2π-周期解   闭凸锥   不动点指数  

摘要： 用正算子扰动方法和锥上的不动点指数理论讨论具有非线性导数项的二阶常微分方程-u″(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t),u′(t)),t∈ℝ正2π-周期解的存在性,其中:a:ℝ→(0,+∞)连续,以2π为周期;f:ℝ×[0,+∞)×ℝ→[0,+∞)连续,f(t,x,y)关于t以2π为周期.在非线性项f(t,x,y)满足适当的不等式条件下,得到了该方程正2π-周期解的存在性.

关键词： 二次插值   分数阶微分方程   非均匀网格   预测校正法  

摘要： 非线性分数阶微分方程初值问题的典型解在初始时刻具有弱奇异性,为了更好地逼近它的典型解,本文将Nguyen和Jang在均匀网格上的三阶预测校正方法推广到非均匀网格上。与文献中现有的预测校正方法相比,这种新方法在降低计算成本的同时,显著提高了数值精度。另外,通过数值算例得到的结果显示,当选择合适的网格参数时,误差的收敛阶大于3。

关键词： 关节轨迹预测   神经常微分方程网络   谱约束   利普希茨条件   不规则采样  

摘要： 针对不规则采样的人体关节轨迹预测问题,文章提出了一种基于改进神经常微分方程网络的人体关节轨迹预测方法.相比于高斯过程回归和循环神经网络等方法,神经常微分方程网络具有低复杂度,高精度和可迭代训练等优点,近年来成为轨迹预测的一种重要方法.首先,针对不规则采样的人体关节运动轨迹建立预测模型,文章以常微分方程的欧拉方法为基础,设计了神经常微分方程网络的前向传播过程;其次,将预测模型代入利普希茨条件计算得到谱范数约束定理,提出了具有谱范数约束的神经常微分方程网络.设计了具有谱范数惩罚项的损失函数,推导了带有谱范数正则项的反向传播过程,并给出了误差分析结果.最后,通过腕关节轨迹预测实验验证了所提出方法的有效性.实验结果表明,谱范数约束下的神经常微分方程网络能够实现准确的关节轨迹预测,且相较于经典神经常微分神经网络与循环神经网络,表现出了更快的收敛速度与更小的预测误差.