教学课程资源库 更多>>

关键词： 二阶常微分方程边值问题   分片同伦摄动法   收敛性分析   误差估计  

摘要： 边值问题是微分方程的重要分支，是抽象模型与自然现象的结合，有着非常深刻的物理背景。近些年来，产生了很多解决常微分方程的方法，例如有限差分法、Adomian分解法、变分迭代法以及同伦摄动法。 同伦摄动法结合了同伦理论以及摄动方法，是何吉欢教授在1998年提出的，为非线性问题的求解提供了非常有效的方法。将非线性问题变成若干个简单的线性问题就是同伦摄动法的思想实质。得到快速收敛的级数解，一般少数几项的级数解就可以很好的逼近真解，简单快速是传统的同伦摄动法的优点。但是也有不足存在，首先，其收敛性未能得到严格的证明。其次，同伦摄动法对于一些强非线性问题可能不收敛。 本论文的研究目的就在于改进传统的同伦摄动方法，使其在保持传统同伦摄动法优点的同时，对于强非线性问题仍能收敛，并给出严格的收敛性证明。 本论文的研究内容如下： 首先，提出了分片同伦摄动法。在传统的同伦摄动法基础上提出改进，对其进行分片处理，即进行区间划分，利用M判别方法对分片同伦摄动法进行严格的收敛性证明，并且给出近似解的误差估计。 其次，运用分片同伦摄动法求解非线性二阶常微分方程（组）边值问题。 最后，基于Mathematica进行数值算例的运算，验证了分片同伦摄动法的优越性。 总之，本论文基于传统的同伦摄动法，进行了改进。分片同伦摄动法能够有效的解决传统同伦摄动法所不能解决的强非线性问题，拓展了同伦摄动法的应用领域。同时，传统的同伦摄动法未能严格证明收敛性，本论文给出了严格的证明，深化了同伦摄动法的理论研究。数值模拟结果也表明分片同伦摄动法精确度高，收敛性快。

关键词： 四阶拟线性常微分方程   最终正解   振动性理论  

摘要： 本文主要研究一类四阶拟线性常微分方程(p(t)|u"|α-1u")"+q(t)|u|β-1u=0,其中α和β是常数,α>0,β>0,p,q∈C[α,∞),α>0,且当t≥a时,有p(t)>0,q(t)>0成立.本文将给出该四阶拟线性常微分方程在系数p(t),q(t)满足一定条件的前提下存在(非极端)最终正解的充分必要条件.

ISBN: (纸本)9787308117999

关键词： 常微分方程   初值问题   Euler法   改进Euler法   龙格-库塔方法  

摘要： 本文阐述了常微分方程初值问题的定义,其数值解法主要介绍了Euler法、隐式Euler法、梯形法、改进Euler法、龙格—库塔方法、线性多步法,以及讨论了其收敛性和稳定性。通过数值实验的比较从而进一步的去验证了这些方法的精度。

关键词： ORDINARY differential equations   SYMMETRY (Mathematics)   LIE algebras   INTEGRALS   LINEAR systems   DIMENSION theory (Algebra)  

摘要： The relationship between first integrals of submaximal linearizable third-order ordinary differential equations (ODEs) and their symmetries is investigated. We obtain the classifying relations between the symmetries and the first integral for submaximal cases of linear third-order ODEs. It is known that the maximum Lie algebra of the first integral is achieved for the simplest equation and is four-dimensional. We show that for the other two classes they are not unique. We also obtain counting theorems of the symmetry properties of the first integrals for these classes of linear third-order ODEs. For the 5 symmetry class of linear third-order ODEs, the first integrals can have 0, 1, 2, and 3 symmetries, and for the 4 symmetry class of linear third-order ODEs, they are 0, 1, and 2 symmetries, respectively. In the case of submaximal linear higher-order ODEs, we show that their full Lie algebras can be generated by the subalgebras of certain basic integrals.

关键词： 常微分方程   奇异解   随机微分方程   噪声扰动   大偏差原理   正倒向随机微分方程   Meyer-Zheng拓扑   次优控制   正倒向随机微分方程   伴随方程   Ekeland变分原理   随机控制   倒向随机微分方程   随机偏微分方程   随机最优控制   正倒向随机微分方程   H-J-B方程   粘性解   上/下微分   最优反馈控制  

摘要： 本文涉及两个主题：第一部分考虑高维常微分方程小噪声扰动问题以及一类耦合正倒向随机微分方程大偏差问题。第二部分研究正倒向随机微分方程随机控制相关问题。 在第一章,我们考虑如下常微分方程：其中b：Rd→Rd。我们有一般的局部存在性理论如果b仅仅满足连续性条件（皮亚诺定理）。这种情形下唯一性可能丢失。然而,摄动随机微分方程,其中W是一个d-维标准布朗运动,存在唯一的强解,如果我们假设b满足连续有界。此外,当ε→0+,摄动随机微分方程的解,在某种意义下,收敛到常微分方程的解。对于一维情形,已有大量文献对这一现象进行了深入的研究。本章的目的在于分析一些高维情形（其技术稍微区别一维情形）。当b含有一个孤立点及在零点处不满足李普希兹条件时,常微分方程可能有无穷多解。我们的主要结果将表明常微分方程的哪些解可以是随机微分方程的极限解（当ε→0+）。对于一维情形,类似问题已被大量探讨,然而其技术不能推广到高维。本章主要的技术创新在于考虑高维情形。 第二章中,我们考虑一类如下带参数ε>0,耦合的正倒向随机微分方程,我们研究,当ε→0+,时,（Xε，t，x,Yε，t,x）的分布收敛,同时建立Freidlin-Wentzell大偏差原理。 需要指出的是,本章结果将推广前人的工作,也就是,b和σ能依赖于变量Y。 第三章中,我们研究一类线性正倒向随机控制系统次优控制问题,其中漂移项和扩散项可以要求依赖控制变量以及控制域非凸。我们建立对于次优控制新的庞特里亚金随机最大值原理的必要及充分条件。本章主要贡献基于我们能考虑控制域非凸以及扩散项含控制。 第四章,我们研究以下拟线性随机偏微分方程：其中我们得到以上随机H-J-B方程解的存在及唯一性,同时给出最优控制验证表示。 第五章中,我们研究漂移项,扩散项以及倒向随机微分方程生成元含控制的正倒向随机微分方程。在不考虑值函数导数,粘性解的框架下,我们得到一个新的验证定理。必须指出这一定理比经典验证定理有更广泛的应用。此外,运用该定理我们可以找到正倒向随机系统最优反馈控制。 常微分方程其中b：Rd→Rd。我们有一般的局部存在性理论如果b仅仅满足连续性条件（皮亚诺定理）。这种情形下唯一性可能丢失。然而,摄动随机微分方程,其中W是一个d-维标准布朗运动,存在唯一的强解,如果我们假设b满足连续有界。此外,当ε→0+,摄动随机微分方程的解,在某种意义下,收敛到常微分方程的解。对于一维情形,已有大量文献对这一现象进行了深入的研究。本章的目的在于分析一些高维情形（其技术稍微区别一维情形）。当b含有一个孤立点及在零点处不满足李普希兹条件时,常微分方程可能有无穷多解。我们的主要结果将表明常微分方程的哪些解可以是随机微分方程的极限解（当ε→0+）。对于一维情形,类似问题已被大量探讨,但其技术不能推广到高维。本章主要的技术创新在于考虑高维情形。本章中,我们研究如下类型带参数ε>0耦合正倒向随机微分方程我们研究以上方程解的渐进性质以及建立相关过程的大偏差原理。 本章我们研究一类由线性正倒向随机微分方程驱动的次优控制问题,其中扩散及漂移项可以含控制变量,控制区域非凸。在Huang, Li,Wang的工作中(参见Automatica46（2010）397-404]),漂移项含控制变量的次优控制问题被作者们提出。本章可视为对这一问题的直接回答。次优控制的必要以及充分条件在Yong [SIAM J. Control Optim.48（2010）4119-4156]最优变差原理的框架下建立并通过处理正倒向随机微分方程最优控制在无界控制区域中的方法,见Wu[Automatica49（2013）1473-1480]得到。我们给出一些处理次优问题而得的估计,此外,讨论两个有趣的例子。 本章中,我们研究如下一类拟线性随机系数随机偏微分方程：其中这是一类由动态规划原理推出的由随机系数正倒向最优递归控制系统导出的推广的H-J-B方程。我们得到一个这类随机H-J-B方程索伯列夫弱解存在唯一性定理。 本章中,我们研究由正倒向随机微分方程,其中扩散项、漂移项、倒向随机微分方程生成元依赖于控制变量的控制系统。一个新的验证定理,在粘性解不含任何值函数的导数的框架下建立。有必要指出,比起传统的验证定理,我们的验证定理有着广泛的运用。作为一个相关的问题,我们讨论正倒向随机最优反馈控制问题。

关键词： 同伦摄动法（HPM）   改进的同伦摄动法（MHPM）   再生核方法（RKM）   非线性Volterra积分—微分方程   非线性二阶常微分方程   初值问题  

摘要： 现代学科中的许多研究课题都可以通过求解非线性方程的初值问题来解决。因此，求解非线性方程的初值问题是许多专家与学者所关注的热点问题，具有很重要的现实意义。在解决非线性方程的初值问题的发展过程中，许多数值解法被广大学者所提出，如Runge-Kutta方法、线性多步法、变分迭代法、牛顿法、欧拉法、同伦摄动法等。 何吉欢提出的同伦摄动法是结合传统的摄动理论和同伦技术的方法，克服了原有的传统摄动理论的不足，将许多复杂的非线性问题转化为更容易求解的线性问题，使问题得到解决。该方法所求得的级数解能够快速收敛到真解，且取级数解的有限项就能快速地逼近方程的真解。基于上述优点，该方法被广大学者应用到各领域中。 再生核方法是一种利用初始条件构造线性算子，通过求解简单的线性算子方程而求得原来复杂的非线性方程的一项分析技术。 但是同伦摄动法也有许多不足之处： （1）对于一些强非线性问题，该方法只在局部收敛； （2）由于算子是否为压缩算子难以验证，所以对于该方法的收敛性问题没有严格的证明。 基于以上两点，本文采用改进的同伦摄动法：对方程进行分段求解。克服了传统的同伦摄动法的不足，同时本文还给出了严格的收敛性证明。 本文主要研究应用改进的同伦摄动法求解非线性Volterra积分—微分方程初值问题，同时结合再生核方法求解非线性二阶常微分方程初值问题。并且对改进的同伦摄动法的收敛性给出严格的证明。每章中数值算例部分的数值结果，充分说明改进的同伦摄动法在求解非线性问题时很有效。

关键词： 常微分方程   背景   最新成果   多媒体   考核  

摘要： 从五个方面探讨了常微分方程教学改革中的一些想法,力求取得良好的教学效果。

关键词： 无穷点边值问题   正解   锥拉伸与压缩不动点定理  

摘要： 常微分方程边值问题是微分方程理论研究的一个基本问题,工程学,力学,天文学,控制论和生物学等一些领域中的许多问题都可以归结为常微分方程的边值问题.常微分多点边值问题能够精确的描述许多十分重要的物理现象,有着相当广泛的实际运用背景,由于多点边值问题有它自身固有的难度,因此对多点边值问题的研究起步相对较晚.2009年,文献[30]中运用锥拉伸与压缩不动点定理研究了非线性二阶常微分方程无穷多点边值问题正解的存在性.之后,关于常微分方程无穷点边值问题,又有一些相关的工作,如文献[41,471. 本文利用锥拉伸与压缩不动点定理,证明了一类非线性二阶常微分方程u''+a(t)u'+b(t)u+h(t)f(u)=0, t∈(0,1)分别在以下三种边值条件下(1) u'(0)=0,u(1)=∑i=1∞αiu(ζi)(2) u'(0)=0,u(1)=∑i=1∞αiu(ζi)(3) u'(0)=∑i=1∞αiu(ζi),u(1)=∑i=1∞βiu(ζi)正解的存在性. 根据研究内容本文主要分为以下三个部分：第一部分证明无穷点边值问题正解的存在性.首先运用锥拉伸与压缩不动点定理证明n+2点边值问题正解的存在性,首先考虑问题(2),第一步,将问题(2)转化为与之对应的积分方程.第二步,利用锥上的不动点定理证明在问题(2)的非线性项满足超线性情形时至少存在一个正解,再当n→∞时,得到问题(2)的极限情形(1).即也就得到了我们想要的结果.第三步,证明非线性项满足次线性情形时正解的存在性. 第二部分证明二阶常微分方程u"+a(f)u'+b(f)u+h(t)f(u)=0,t∈(0,1)在边值条件u(0)=0,u(1)=∑i=1∞αiu(ζi)下正解的存在性,证明方法与第一部分类似,困难在于在证明过程中把问题转化为相应的积分方程比较难,最大的难度是当n→∞时,正解存在性的证明. 第三部分证明无穷点边值问题正解的存在性.首先证明有限点边值问题至少存在一个正解,接下来研究n→∞时,无穷点边值问题正解的存在性,由于问题(3)对应的Green函数形式比较复杂,给其性质的讨论带来了困难,同时也导致了与问题(3)相应的积分方程的复杂性,为证明相应的结果带来了一定的难度,但我们通过认真细致的讨论,解决了上述困难,得到了所需的结果.

关键词： PK/PD模型   常微分方程   分形   分数阶微积分   随机微分方程  

摘要： 药代动力学（PK）与药效动力学（PD）作为现代药理学的两个基本领域，其重要性可体现在药物开发与临床应用的各个阶段。随之而来的关于PK/PD的数学建模方法也日趋多样化，有望形成一套更为完善的理论与应用体系。基于常微分方程的传统PK/PD模型，描述经典扩散下确定性环境中的动力学特征，在很大程度上实现了PK/PD从理论描述到定量计算的重大飞跃，作为主流建模方法沿用至今。 然而随着生物医学、生物信息学、现代生物信息监测手段及计算机技术的不断深入发展，我们发现，常微分方程建模方法在一定程度上存在某些缺陷，如无法很好地描述反常扩散动力学及模型中不确定性随机因素等问题。尽管出现了一批新模型，在一定程度上能够弥补常微分方程模型的不足，但模型尚处于起步阶段，关注度不高，更未有总结性文章对其予以系统性概括分析。对比传统模型，本文主要就近些年新发展而来的三种PK/PD建模方法进行综述与研究，在综合比较的基础上，预测模型未来的发展趋势。 首先引入药动学与药效学的基本概念，重点介绍基于常微分方程建立的PK、PD与PK-PD结合模型理论，通常称之为传统模型或经典模型。 其次分别介绍与分析三种PK/PD建模的新方法：基于分形动力学的分形模型、基于分数阶微积分的分数阶模型与基于随机微分方程的随机模型。在现有文章的基础上详细阐述其相关理论、模型特点与研究现状，并与传统常微分方程建模相比较，分析其优势所在。更在此基础上，对模型进行适当的总结与评价。 最后综合对比与分析三种建模方法的各自优缺点，预测其应用趋势及发展方向，有望为实际药理学应用中模型的选择提供切实可信的理论依