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关键词： 常微分方程   教学案例   高职数学教学  

摘要： 本文对常微分方程的案例教学进行了探索,分析了如何在课程教学中引入适当的案例调动学生的学习积极性,从而提高学生的学习兴趣。

关键词： 变号解   一致正线性算子   不动点定理   不动点指数   锥   渐近线性算子   格  

摘要： 常微分方程边值问题是常微分方程理论研究领域中的重要课题之一,工程、力学及生物学等领域中的许多实际问题都可归结为常微分方程边值问题,近年来,常微分方程边值问题的研究非常活跃,得到了许多关于边值问题正解的存在性结果,可参见文献[20]-[26],但对变号解存在性的研究却不多,因而我们研究常微分方程边值问题正解及其变号解有着重要的意义. 本文主要利用锥拉压不动点定理、不动点指数定理,得到了几类二阶常微分方程边值问题正解及其变号解的存在性结果.主要包括以下四章： 第一章研究了Sturm-Liouville边值问题变号解的存在性.利用不动点指数方法得到了至少存在一个正解、一个负解和一个变号解的存在性结果,并给出例子加以验证.第二章研究了二阶三点边值问题 其中O<α,η<1.由渐近线性算子的性质和不动点指数理论得到了此边值问题至少有一个变号解,同时还有两个正解和两个负解的存在性结果,并给出具体例于. 第三章研究了二阶边值问题由单侧渐近线性算子的性质和不动点指数理论,研究具有格结构的有序Banach空间,得到了此边值问题至少有一个变号解的存在性结果. 第四章研究了Sturm-Liouville边值问题利用锥拉压不动点定理得到了至少两个正解的存在性结果.

关键词： 常微分方程   稳定性   李雅普诺夫函数  

摘要： 稳定性理论是微分方程的一个重要分支,是由研究运动问题而发展起来的,就常微分方程的稳定性进行进一步的分析.

关键词： pantograph-型延迟微分方程   谱配置法   指数收敛性   区间剖分   消失比例延迟   偏积分微分方程   弱奇异核   拉普拉斯变换   z-变换   卷积求积  

摘要： 本文讨论比例延迟微分方程和一类带弱奇异核偏积分微分方程谱配点法的长时间估计。比例延迟微分方程(DDEs),也称为泛函微分方程,来源于许多现实生活当中的应用。例如,生物、医疗、控制理论、气候模型、人口动力学、电子网络等等许多其他应用。在这些实际问题中,延迟微分方程经常被用来构成基本的数学模型。比例延迟微分方程中延迟项的出现,表明该问题具有记忆性质。由于方程的光滑已知条件导致了解在区间J上全局光滑,这一事实启发了我们利用谱方法来数值求解带消失延迟DDEs。本文先是采用Legendre-Gauss-Lobatto配点法与区间剖分相结合的方式设计算法求解带消失比例延迟qt(0

关键词： 一阶微分方程   解法   变换   积分因子  

摘要： 对一道一阶微分方程,运用伯努利方法、积分因子法、齐次微分方程求解法、变量分离方程求解法,给出多种方法求解,开拓探究问题的思维及解题技巧。

关键词： 扭转定理   Duffing方程   反转系统   Lagrange稳定性  

摘要： 20世纪在微分方程解的稳定性方面最重要的理论成果之一是KAM理论,人们在研究N-体问题时,发现了此理论,现在KAM理论已是研究微分方程解的稳定性方面的重要工具。作为KAM理论的一部分,Moser扭转定理常用于证明平面系统的Lagrange稳定性。近来,经过R. Ortega和柳彬等对Moser扭转定理做了进一步的推广之后,Moser扭转定理的变形能够解决更广泛的微分方程的解的稳定性问题。 Duffing方程是一类简单的数理方程,但这并不影响它的重要性。它描述了许多物理现象,如共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子、混沌现象等,在电子技术和机械方面,Duffing方程有重要的应用。众所周知,反转系统不但在流体力学、量子力学和光学等物理学分支中有非常重要的理论价值,而且有广泛的应用。因此,直到今天,对Duffing方程和反转系统解的性质的研究一直是微分方程的热门问题。 本文运用Moser扭转定理的变形解决了一类Duffing方程和一类反转系统解的稳定性问题。共分三章来研究此方面的问题。 在前言中,我们简单介绍了Duffing方程和反转系统解的稳定性问题的背景及发展情况,由此引出我们所研究的问题。 第一章介绍了Moser扭转定理及其变形,包括经典的Moser扭转定理,***给出的扭转定理,以及柳彬等推广的扭转定理。 第二章研究了一类Duffing方程的Lagrange稳定性,推广了王新平[1]的结果,运用***[2-3]给出的扭转定理,证明了具有跳跃项和时间周期势的Duffing方程的Lagrange稳定性。 第三章研究了一类反转系统解的有界性问题,推广了柳彬[4]的结论,运用Moser扭转定理的变形[5],证明了反转振子在共振时的反转系统仍有有界解。

关键词： extended Euler   numerics   ordinary differential equations  

摘要： As a numerical method for solving ordinary differential equations y' = f(x,y), the improved Euler method is not assumed to give exact solutions. In this paper we classify all cases where this method gives the exact solution for all initial conditions. We reduce an infinite system of partial differential equations for f(x,y) to a finite system that is sufficient and necessary for the improved Euler method to give the exact solution. The improved Euler method is the simplest explicit second order Runge-Kutta method.

关键词： 连续并行块方法   常微分方程   时滞微分方程   中立型时滞微分方程   时滞微分代数方程  

摘要： 连续数值方法在数值求解非连续的常微分方程、时滞微分方程、时滞微分代数方程、中立型时滞微分方程以及微分-积分方程时起着相当重要的作用。在过去的几十年中，关于龙格-库塔方法以及线性多步法解的连续形式已经有了较为详细的研究，为获得上述各类方程在非网格节点上的近似值提供了有效途径。 本论文以并行块方法为基础，构造了一类连续的并行块方法。首先，我们讨论了该方法的收敛性质及其求解常微分方程的绝对稳定性。其次，我们将连续并行块方法应用于求解时滞微分方程、中立型时滞微分方程和时滞微分代数方程，并获得连续并行块方法是渐近稳定的充分必要条件。 同时，我们给出了一些数值例子来说明理论结果的正确性。

关键词： SOFT computing   ORDINARY differential equations   NUMERICAL analysis   BOUNDARY value problems   MATHEMATICAL models   CHARACTERISTIC functions  

关键词： 玻色爱因斯坦凝聚   涡旋   常微分方程   稳定性  

摘要： 自从稀薄原子气体中玻色爱因斯坦凝聚实现以来,体现其超流性质的涡旋一直是人们研究的热门话题之一。不同于以平均场理论为基础建立的非线性薛定谔方程来描述弱相互作用的玻色爱因斯坦凝聚,本文在一个常微分方程的模型下对多个涡旋的作用分析研究。常微分方程模型下涡旋的运动包含两部分：简谐势阱对涡旋的作用以及涡旋间的相互作用。本文分为五个部分：引言部分介绍玻色爱因斯坦凝聚中的涡旋以及人们对涡旋的研究历程和现状。第二章列出本文所需的知识点并对常微分方程模型下的涡旋动力系统的性质研究,分析系统的保守性、哈密顿可积性等。第三章重点对5个、6个直至n个相互作用涡旋的动力系统平衡点的稳定性及围绕平衡点周期闭轨的存在性作细致分析。第四章讨论了5个涡旋的动力系统周转圆运动轨道的稳定性,不同的振动模式下周转圆运动的轨道的稳定性不同。最后第五章对本文前几章的内容做了简要的总结和展望。