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关键词： Gronwall-Bellman-Pachpatte不等式   非线性积分不等式   常微分方程   估计   时滞偏微分方程  

摘要： 微分方程是现代数学的一个重要分支,它与其他应用学科有着极其紧密的联系.现实生活中,大量实际问题可以转化成满足微分方程关系的数学模型,通过求解微分方程来解决实际问题.尽管大多数微分方程难以求出其具体解,但是通过适当改进其不等式即可以对解估计,从而分析解的性质.自从1919年著名的瑞典数学家Gronwall提出Gronwall不等式以来,人们发现Gronwall不等式是研究微分方程解对参数的连续依赖性的一个重要工具.后来在Bellman和Pachpatte的相继推广下得到了Gronwall—Bellman—Pachpatte不等式,Gronwall—Bellnan—Pachpatte不等式及其各种推广不等式在研究各种微积分方程解的定性问题和量性问题方面扮演着极其重要的角色.当然,微分方程理论方兴未艾.近年来,随着微分方程发展的需要,大家将不等式由线性推广到非线性,由一个变量推广到多个变量,并引进了时滞微积分不等式.这些结果都将有利于我们更好的研究和推广微分方程理论. 根据内容本文分为以下三部分： 第一章概述了积分不等式的发展状况及本文研究的主要内容. 第二章在本章中,主要讨论了一些新的一元非线性时滞Gronwall—Bellmax—Pachpatte积分不等式,并利用常微分方程的计算方法对其进行了数值估计. 第三章在本章中,主要介绍了几个新的二元非线性时滞Gronwall—Bellmax Pachpatte积分不等式,并对其进行了应用.

关键词： INTEGRALS   DIFFERENTIAL equations   THEORY of equations   EQUIVALENCE (Mathematics)   NUMERICAL analysis  

摘要： Different approaches to construct first integrals for ordinary differential equations and systems of ordinary differential equations are studied here. These approaches can be grouped into three categories: direct methods, Lagrangian or partial Lagrangian formulations, and characteristic (multipliers) approaches. The direct method and symmetry conditions on the first integrals correspond to first category. The Lagrangian and partial Lagrangian include three approaches: Noether's theorem, the partial Noether approach, and the Noether approach for the equation and its adjoint as a system. The characteristic method, the multiplier approaches, and the direct construction formula approach require the integrating factors or characteristics or multipliers. The Hamiltonian version of Noether's theorem is presented to derive first integrals. We apply these different approaches to derive the first integrals of the harmonic oscillator equation. We also study first integrals for some physical models. The first integrals for nonlinear jerk equation and the free oscillations of a two-degree-of-freedom gyroscopic system with quadratic nonlinearities are derived. Moreover, solutions via first integrals are also constructed.

关键词： 四阶常微分方程   锥拉伸与锥压缩不动点定理   积分边值问题   解与正解  

摘要： 在物理学、力学、生物学、航空航天技术等领域中,非线性微分方程边值问题具有广泛的应用.所以,研究非线性微分方程边值问题具有重大的理论意义和实际应用背景,因而受到了广大学者的关注与研究.文章分别探讨了两类非线性四阶常微分方程边值问题的可解性.全文共分四章.在绪论中,首先对本文使用到的相关符号、定义以及定理做了简单叙述;然后回顾了非线性四阶常微分方程边值问题的研究背景及现状;最后简述了本文的基本思路和组织结构.第二章,主要研究了一类四阶积分边值问题正解的存在性问题.利用锥拉伸与锥压缩不动点定理,在边值条件为非局部的情况下,建立了该类四阶积分边值问题在超线性和次线性条件下存在一个及两个正解的充分条件.第三章,研究了带混合边界条件、非线性项带参数的四阶常微分边值问题解的存在性问题.通过讨论非线性项中的参数r?0及r?0时,获得该类边值问题解存在性的充分条件.相比较文献[31]中所研究的四阶边值问题,本章所研究的边值条件更具有一般性.最后,总结全文,并简述了对今后研究的展望.

关键词： Kurzweil积分   广义线性常微分方程   边值问题   伴随方程  

摘要： 讨论一类广义常微分方程边值问题dx=d[A]x+dg,x(a)+μ∫b a x(s)ds=x(b)解的存在性和惟一性,其中x:[a,b→]Rn是[a,b]上的向量值函数,A是定义在[a,b]上的m×n阶矩阵值函数,g是n维向量实值函数并且μ∈R.借助伴随方程,给出了这类广义常微分方程边值问题解的存在性和惟一性.

关键词： 常微分方程   教学内容   数学建模  

摘要： "常微分方程"是数学学科的一门主要基础课,其理论性和应用性都很强。结合在我校信计专业"常微分方程"的教学体会,从学生学习常微分方程的内容以及积极性出发,探讨了提高学生学习兴趣的方法。

关键词： 复合KdV方程   非线性偏微分方程   辅助微分方程   行波解   非线性微分方程  

摘要： 利用辅助常微分方程得到复合KdV方程的精确行波解.辅助常微分方程法的核心思路是:部分复杂非线性波动方程的行波解可以通过求解一些简单的、可解的微分方程——辅助常微分方程的方法得到解决.

关键词： 对比教学法   常微分方程   复变函数与积分变换  

摘要： 为了改进教学效果，培养学生寻找知识之间的内在联系的能力，在授课中应用对比教学是非常必要的．从常微分方程课程和复变函数与积分变换课程的教学中，展示了对比教学法的几方面应用，主要包括比较的对象、比较的具体内容和课程与实际问题之间的联系．实践教学表明应用对比教学可以提高教学质量．

关键词： 二阶微分方程   Volterra型积分方程   Banach不动点定理  

摘要： 利用泛函分析中的不动点理论验证了一个二阶常微分方程的解的存在性,给出了解的一般表达式,举例说明了其应用.

关键词： 常微分方程   奇异边值问题   谱配置方法   Jacobi-Gauss-Lobatto节点  

摘要： 对一类具有正则奇点的线性常微分方程奇异边值问题进行了正则化处理,利用Jacobi-Gauss-Lobatto节点为配置点,用谱配置方法求其数值解,逼近问题的正确解。给出算法格式和相应的数值试验结果,证明所提算法格式的有效性和高精度。所用方法可用于求解奇点阶数为任意正数的正则奇点的情况。

关键词： 常微分方程   教学改革   教学方法   教学模式  

摘要： 根据我院生源情况和办学特点，结合当前常微分方程课程教学出现的一些问题，探讨了常微分方程课程教学改革的方法和手段，并且研究了该课程教学的考核办法．