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关键词： 四阶方程边值问题   正解   不动点指数   R+2-单调矩阵   凹函数   锥  

摘要： 非线性泛函分析为当今数学的一个重要分支,其研究具有广泛的应用价值,其中主要包括拓扑度理论、变分方法、临界点理论、锥理论等诸多内容.这些非线性的问题主要是处理这些非线性的积分方程和微分方程.对非线性泛函分析的研究在国内外也取得了丰富的成果.1912年***建立了有限维空间的拓扑度(Broawer度),1934年***将这一成果推广到Banach空间的全连续场,建立了Leray-schauder度.***,***,P. ***,***,***等对非线性泛函分析及其应用也进行了深入的研究,国内张恭庆教授、郭大钧教授、孙经先教授等在非线性泛函分析的研究中,取得了很多深刻的结果.他们的研究成果可以应用于控制理论、最优化理论、计算数学、经济数学等等许多领域. 四阶非线性微分方程组边值问题是微分方程问题非常重要的组成部分.对它的研究有着非常重要的价值和意义,为许多学者关注,也取得了丰硕的研究成果.大多数的这些结果是通过将四阶边值问题转化成二阶边值问题,然后利用不动点指数理论、拓扑度理论、锥理论、上下解等方法得出问题的正解. 近年来,对四阶非线性微分方程组边值问题尤其是正解的存在性的研究逐渐增多,但最常用的不动点指数定理有着一定的限制条件,它的适用范围有着局限性.因此,存在着许多亟待解决的问题.本文是在借鉴前人成果的基础上,将一些条件进行改进和完善,从而推广了这些结果. 利用不动点指数理论,本文深入研究了几类四阶非线性微分方程组边值问题的正解的存在性,共分为四章： 在第一章中,我们研究一个四阶积分方程边值问题正解的存在性, 其中f∈C([0,1]×R+,R+),αi≥0,βi≥0,αi和βi是[0,1]上的严格递增函数.本文的亮点在于,方程(1.1.1)的Green函数用传统的求法比较困难.我们通过使用方程(1.1.2)中的Green函数,转化建立(1.1.1)的Green函数.然后我们使用先验估计得到相关的积分恒等式和不等式,接着使用不动点指数定理去证明方程(1.1.1)正解的存在性. 在第二章中,我们研究一个四阶微分方程组边值问题正解和多重正解的存在性 其中f,g∈C([0,1]×R8+R+)(R+:=[0,∞)).本文的亮点在于,在获得先验估计中凹函数的运用,同时在获得先验估计中非负矩阵的运用,以及降阶的方法.运用文献[31]中的方法,使用建立的积分恒等式和不等式,来得出方程(1.2.1)中正解和多重正解的存在性. 在第三章中,我们用不同的方法研究一个四阶边值问题正解和多重正解的存在性 其中f,g∈C([0,1]×R8+R+)(R+:=[0,∞))本章的主要困难在于在处理方程组(1.3.1)中,存在奇数阶导数,尤其是非线性项f,g.为了克服这个困难,我们采用降阶的方法,把(1.3.1)转化成一阶积分微分方程组初值问题.然后通过文献[49]中的方法,建立一些相关参数的线性积分算子,结合先验估计,使用不动点指数理论,来证明方程组(1.3.1)中正解和多重正解的存在性. 在第四章中,我们研究与第三章相同的方程但是边界条件不同的方程组边值问题正解和多重正解的存在性 其中f,g∈C([0,1]×R8+R+)(R+:=[0,∞))与第三章相比,本章含有不同的边值条件和一阶导数的非线性项.我们首先采用与第三章相同的降阶方法,把(1.4.1)转化成一阶积分微分方程组初值问题.然后依次得到不同边值条件相对应的积分恒等式,得到正解先验估计.本章中,矩阵理论起着重要的作用.

关键词： 矛盾   问题   实践   思考  

摘要： 常微分方程是大学数学专业的重要基础课,是进一步学习泛函分析、数值计算、数学建模、偏微分方程、稳定性理论和控制论等方向的入门学科,具有很强的理论性和应用性,主要探讨在常微分方程教学改革实践实行分层次教学的一些尝试和所取得的效果。

关键词： ORDINARY differential equations   ITERATIVE methods (Mathematics)   TOEPLITZ matrices   TRIANGULARIZATION (Mathematics)   COMPUTATIONAL complexity  

摘要： It is time consuming to numerically solve fractional differential equations. The fractional ordinary differential equations may produce Toeplitz- plus- band triangular systems. An efficient iteration method for Toeplitz-plus-band triangular systems is presented with O (Mlog (M)) computational complexity and O(M) memory complexity in this paper, compared with the regular solution with O (M-2) computational complexity and O (M-2) memory complexity. M is the discrete grid points. Some methods such as matrix splitting, FFT, compress memory storage and adjustable matrix bandwidth are used in the presented solution. The experimental results show that the presented method compares well with the exact solution and is 4.25 times faster than the regular solution.

关键词： 正解   常微分方程组   积分边界条件   奇异   锥   不动点指数Leray-Schauder度   上下解  

摘要： 本文研究一类二阶奇异常微分方程组积分边值问题及特征值问题在某些条件下的正解的存在性.全文分为三章. 第一章为引言,阐述了非线性问题的一些来源背景,以及部分研究者在非线性边值问题,特别是非局部边值问题等方面的一些研究结果. 第二章,研究一类奇异二阶常微分方程组积分边值问题 其中ai∈C[0,1],bi∈C([0,1],(-∞,0)),fi(t,x,y)∈C([0,1]×(0,+∞)×(0,+∞),R+),ci∈C((0,1),R+)(i=1,2),R+=[0,+∞),非负函数gi,hi∈L1[0,1],ci(?)0可在t=0或t=1处奇异.利用锥拉伸与压缩不动点定理和乘积锥上的不动点指数乘积公式,得到了以上边值问题在特定条件下至少有一个正解和至少有两个正解的结果. 第三章,主要研究以下特征值问题 其中ai∈C[0,1],bi∈C([0,1],(-∞,0)),λ,μ≥0,但fi(t,x,y)∈C([0,1]×R+×R+,(0,+∞)),ci∈C((0,1),R+)(i=1,2),R+=[0,+∞),非负函数gi,hi∈L1[0,1],ci(?)0可在t=0或t=1处奇异.本文建立了具有非零积分边值的二阶常微分方程组的Leray-Schauder度与一对(严格)上下解的关系,利用此关系以及锥拉伸与压缩不动点定理、乘积锥上的不动点指数乘积公式等工具,给出了上述特征值问题的正解的存在个数与参数(λ,μ)的关系.

关键词： 收敛性   阶条件   对称线性多步法   P-稳定   指数/三角/相拟合   两导数线   性多步法  

摘要： 周期性振荡微分方程广泛存在于分子动力学、天文学、经典力学、量子力学、化学、生物学及工程等领域.由于大部分微分方程的解析解难以得到,所以数值解法的研究显得尤为重要.对微分方程初值问题,至今人们已建立了三类基本的数值积分方法：Runge-Kutta (RK)方法,Runge-Kutta-Nystrom (RKN)方法和线性多步法(LMM).与RK方法及RKN方法相比,线性多步法具有结构简单、计算精度高和计算效率高等优点.过去十年中,有大量的工作研究适应于振荡微分方程的RK方法和RKN方法.本论文旨在研究求解一阶与二阶振荡问题的保结构线性多步法.本文分为四章.作为全文的预备知识,第一章概述了一阶常微分方程初值问题线性多步法的一些重要性质,着重于阶条件与收敛性.证明了适定的线性多步法保持一次不变量.对二阶振荡常微分方程,提出了对称线性多步法的伪相延迟概念.在此基础上通过相延迟的导数建立了指数拟合的一个新的等价条件.给出并证明了高阶常微分方程线性多步法代数阶的一个等价条件.第二章构造了一列伪相延迟为零、伪相延迟的导数及积分为零的显式对称线性八步法.新方法应用到两个著名的周期轨道问题上.数值试验结果显示新方法优于Simos2004年得到的方法.第三章研究两导数线性多步法的性质.用线性算子给出局部误差公式,证明了收敛性的一个必要条件,并证明适定的两导数线性多步法能够保持方程的一次不变量.最后给出并证明了代数阶的一个等价条件.第四章在线性谐振子解的结构启发下,引入一个新的差分算子,在此基础上创建了一类新的P-稳定对称扩展线性多步法(SELM)及相应的预估-校正方法.具体构造了两步、四步、六步及八步显式和隐式的SELM方法.用显式八步SELM方法预估,再用隐式SELM方法校正,得到一个新的八步预估-校正SELM (SELMPC)方法.对每个新方法给出了误差分析.与文献中几个的同阶方法相比,新的SELMPC方法的误差系数是最小的.数值实验的结果表明新的方法优于文献中若干同步同阶的方法.最后简要地总结了本文的主要贡献,提出了未来研究的课题.

关键词： Hybrid systems  

摘要： (Bi)Simulation functions have recently been introduced as a powerful tool for the approximation of hybrid systems. In this paper, we present a method to determine whether a function is a (bi)simulation function for first-order ordinary differential systems, as a generalization of the earlier work on constrained linear systems by Girard and Pappas. The proof of this method is given, and it is concise and simple. © 2014 Binary Information Press.

关键词： 最小二乘支持向量机   常微分方程   近似解   优化问题  

摘要： 微分方程作为连接抽象数学理论和自然科学应用的主要桥梁，它的发展推动了如线性代数、李群理论、控制理论等一系列学科的研究。微分方程理论融合了多种理论的分析思路和不同实际应用的方法，其中微分方程的求解问题以及解的性质研究一直是其研究者的一项重要的基本工作。然而实际生产和科学研究中遇到的大多数常微分方程由于其复杂性，基本得不到解析解，所以常用数值方法求其近似解。 近年，针对大多数传统数值方法计算复杂、解的形式离散的缺陷，研究人员尝试寻找更简便的方法。通过神经网络算法、最小均方法和支持向量机等智能算法求解常微分方程的方法成为新的方向。本文主要研究基于最小二乘支持向量机(LS-SVM)的常微分方程的近似解求解方法。 首先通过离散计算域，将常微分方程转换为带有约束条件的目标优化问题，然后利用径向基(RBF)核函数可导的性质，用带有导数形式的LS-SVM模型将此优化问题转化为LS-SVM回归问题，最终转化为较易求解的方程组求解问题。 利用上述思路分别对非刚性线性常微分方程初值问题、边值问题和一阶非线性常微分方程初值问题进行了求解。通过该方法得到的闭式近似解具有精度高、连续可微、结构简单且形式固定的特点，为之后定性分析解的性质创造条件。 最后研究了参数选取方式和大范围求解问题，说明该方法所得近似解精度同参数选取的关系，以及解决该方法在求解大范围常微分方程时计算量大的问题。

关键词： 常微分方程   应用能力   改革方法  

摘要： 常微分方程是数学专业开设的一门基础课程,有着广泛的应用,是数学理论联系实际的一个重要桥梁。现行教学模式沿用了传统的听讲教学方法,忽略了教学过程中师生的交流,限制了学生应用能力的培养,已不能适应社会发展对应用型人才的需要。研究常微分课程中应用能力的培养问题迫在眉睫。本文通过对常微分方程课程教育现状和应用能力进行分析,提出了结合实际应用;利用计算机辅助学习;整合课本内容,让学生对知识有整体掌握;利用现代教学手段,提高教学效果;授课过程中注意引导学生进行思考;改革考核方法,加强对学生学习效果检测等解决途径。

关键词： 变量可分离   一阶线性微分方程   全微分方程   幂级数解  

摘要： 针对四类一阶常微分方程,分别是变量可分离或可化为变量可分离的一阶常微分方程;一阶线性微分方程;全微分方程;有幂级数解的一阶微分方程,对其先概括要点,再选取例题,逐层剖析,从而教给学生一种解题的规律.

关键词： 常微分方程   数学建模   教学方法   学习兴趣  

摘要： 本文根据常微分方程课程的特点,结合安徽建筑大学常微分方程课程教学的现状,从激发学生学习兴趣,提高学生的应用能力与创新能力的角度出发,提出在常微分方程教学中,重视绪论课,分层教学,在教学过程中渗透数学建模思想,优化教学内容等四方面内容。