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关键词： 常微分方程   数学建模   常微分方程模型  

摘要： 常微分方程实质上是一种工具,用于描绘和阐述事物的演变过程,甚至可以透过模型来揭示真实世界中的动态联系。构建常微分方程模型,不仅能有力地辅助我们对相关问题做出适当的评估和决定,同时也能为我们未来的发展路径做出独特的预见。一个重要的方法,即利用常微分方程来处理实际问题,这就需要我们构建一个用于处理实际问题的数学模型--常微分方程模型。依照现实问题所需的条件,我们设定了模型的各项参数,然后运用现代物理、化学、生物、经济等多领域的知识,通过常微分方程的不同表达方式,对问题的起因和规则进行了阐述。现代数学建模教育课程中,常微分方程模型扮演着关键的角色。因此,本篇文章首先探讨常微分方程的进步情况,接着详细阐述常微分方程模型,最终通过几个实际案例,阐述常微分方程在数学建模中的运用。

关键词： 非线性最优控制   哈密顿系统   保辛方法   常微分方程   微分代数方程  

摘要： 针对最优控制问题(OCP)的辛数值方法研究及应用进行综述。主要涉及内容包括,动力学系统为常微分方程描述的一般无约束、含不等式约束和状态时滞的最优控制问题,微分代数方程描述的一般无约束、含不等式约束和含切换系统的最优控制问题,以及闭环最优控制问题。从间接法和直接法两个求解框架出发,重点介绍本课题组在保辛算法方面的研究工作。在间接法框架下,首先基于生成函数和变分原理,将OCP保辛离散为非线性方程组,再数值求解方程组。在直接法框架下,将OCP保辛离散为有限维的非线性规划问题(NLP),再数值求解。针对闭环最优控制问题,提出了保辛模型预测控制、滚动时域估计和瞬时最优控制算法。研究表明,保辛算法具有高精度和高效率的特点,在航空航天和机器人等领域有着广泛应用前景和价值。

关键词： 拉格朗日方程   微分代数方程   能量守恒定律   哈密顿方程   非保守系统   常微分方程   准坐标   动力学问题  

摘要： 在动力学问题的数值仿真中,保持离散后的系统与原始系统相同的特性和结构是非常重要的.对于使用哈密顿方程建模并使用辛积分器求解的保守系统,其系统的能量可以在求解过程中守恒.然而,有许多系统是在跟随坐标系下建模的,且模型中包含非线性耗散项,除非将耗散造成的能量损失一并考虑在内,否则很难保持系统的能量守恒特性。因此,在数值模拟期间保持总能量守恒是至关重要的。为了解决这个问题,本研究使用准坐标描述的拉格朗日方程来描述建立在跟随坐标系下的动力学系统,并提出了一种新的能量约束型欧拉积分器来求解建立的系统.该积分器将能量守恒定律作为约束方程,并从最初的常微分方程中构建一个新的微分代数方程通过隐式地求解该微分代数方程,获得保持系统总能量守恒的数值结果.为了将所提出的方法与常用的辛积分器和普通数值积分器进行比较,分别将各个积分器用于求解线性和非线性系统的初值问题。常用的辛积分器由于准坐标描述的拉格朗日方程的非对称结构,无法保持此类模型的总能量守恒特性.与之相对的,本文提出的能量约束型欧拉积分器能较严格地保持系统的能量守恒属性,且对保守和非保守系统都有较好的效果.

关键词： 积分因子   伯努利方程   常数变易   变量替换   Matlab  

摘要： 常微分方程是数学分析、高等代数的后继课程,对培养学生学习和研究能力具有重要作用。对常微分方程的题目进行一题多解的讲授,可使学生从多个角度体会解题方法、解题技巧,提高学生的发散思维,从而加深学生对常微分方程基本理论、基本方法的理解,提高教学效果。本文利用积分因子法、伯努利方程、常数变易法、变量替换法、Matlab法求解一道一阶常微分方程的题目。

关键词： 多尺度法   简化版多尺度法   久期项   泰勒展开  

摘要： 针对带小参数的微分方程求数值解已经有了很多种数值解法,比如多尺度法(Multiscale Methods),将微分方程按照时间尺度进行划分,通过分开求解不同时间尺度下的子方程从而求解原方程。但是这种方法划分的尺度过于臃肿,极大的增加了运算时间;其次需要手动处理尺度方程,来避免久期项(secular terms)的影响导致最终求得的数值解有一定的误差。本文提出了一种改进版的多尺度法(Reductive Multiscale Methods),将时间尺度的划分极大地简化,其次利用欧拉公式和泰勒展开的性质将久期项(secular terms)化到尺度方程内部,从而避免了久期项(secular terms)对数值解的影响。最后将该方法举例得到的数值解与多尺度法(Multiscale Methods)对比,在一定程度下,验证了改进算法的运算量小、高效率的优势。

关键词： 寿命预测   纵向协变量   常微分方程   循环神经网络   全连接神经网络   编码器   解码器   风险函数  

摘要： 在临床的研究中含纵向协变量的数据所具有的特性使得预测任务变得很复杂.一方面,特征的时间步长往往不规则,另一方面,随访数据的质量参差不齐,可能出现数据缺失或不完整的情况.更为棘手的是,考虑到竞争事件,如死亡或疾病进展,在数据中的观察和建模也充满了不确定性.这些挑战使得传统的统计和机器学习模型在预测患者寿命时面临困难.　　为了解决上述挑战, 本文采用基于常微分方程的递归神经网络作为编码器(Latent Ordinary Differential Equations,以下简称为Latent ODE)和由全连接神经网络组成的特定原因的解码器模块来估计每个事件随时间变化的风险函数相结合构成Latent ODE生存模型.该方法的核心框架在于,通过一种结合了ODE(常微分方程)和RNN(循环神经网络)的ODE-RNN编码器将具有变时间长度的患者特征时间轨迹转化为固定维度的潜在嵌入.这样,不仅可以捕捉到数据中的非线性关系和演化趋势,还可以获得潜在状态的后验分布.之后,这些潜在嵌入被输入到由完全连接神经网络组成的原因特定解码器模块中,用于估计每个事件随时间变化的风险函数.这样的设计使得模型能够灵活地预测单一或多个竞争事件的生存时间,而无需事先指定事件特定风险函数的形状.　　本文所提出的方法旨在提高寿命预测的准确性和灵活性,尤其是在处理不规则时间步长、随访数据质量问题和竞争事件时.通过Latent ODE生存模型,本文提出的方法不仅能够有效地捕获数据的非线性关系和演化趋势,还能准确地预测未来时间点的患者生存概率.此外,该模型还能处理单一或多个竞争事件,并且无需事先指定风险函数的形状,从而增强了其实用性和通用性.因此,这种方法在预测寿命等任务方面展现出了广阔的应用前景.

关键词： 无穷维常微分方程   高维(交错)离散卷积   组合分析   空间拟周期解  

摘要： 本文主要研究非线性偏微分方程的空间拟周期Cauchy问题,特别是非线性色散偏微分方程.该问题的核心是求解高维(交错)离散卷积型无穷维常微分方程的Cauchy问题,我们运用精确的组合分析技术,建立了(局部)存在唯一性. 本文由三章组成,主要内容如下: 第一章是全文的绪论部分,主要介绍了概周期空间结构、KdV方程与Deift猜想、非线性Schr(?)dinger方程、主要工作及贡献、证明方法及框架和全文安排. 第二章主要研究广义KdV方程的空间拟周期Cauchy问题.在Fourier空间指数衰减的假设下,运用组合分析技术,证明了该问题的局部存在唯一性.从技术角度来看,该部分的主要贡献之一是:建立了实值高次幂律非线性的组合结构以及Feynman图. 第三章主要研究非线性Schr(?)dinger方程和导数非线性Schr(?)dinger方程的空间拟周期Cauchy问题.运用组合分析技术,在Fourier空间多项式衰减的假设下,证明了非线性Schr(?)dinger方程空间拟周期Cauchy问题的“全局”存在唯一性;在Fourier空间指数衰减的假设下,证明了导数非线性Schr(?)dinger方程空间拟周期Cauchy问题的局部存在唯一性.从技术角度来看,该部分的主要贡献是:(ⅰ)建立了复值高次幂律非线性的组合结构以及Feynman图和*[·]-幂次标记法;(ⅱ)建立了多项式衰减框架下的组合分析.

关键词： Nesterov加速   加速梯度算法   常微分方程   Layapunov 函数  

摘要： 随着人工智能功能的日益强大,对机器学习、深度学习的研究也日趋完善。深度学习的核心问题是求解优化问题,而随着当前实际问题规模的日益扩大,一阶优化算法由于只需要函数的梯度信息及函数值,运算成本相对较低,在机器学习等领域被广泛应用,设计新的加速梯度算法是加快问题求解的关键。 首先,本文介绍了几种常见的一阶优化算法,以及如何将一阶优化算法与常微分方程联系在一起。由于一阶优化算法与常微分方程间具有紧密的联系,常微分方程是解释加速梯度算法加速原理的重要手段,也是设计新的加速梯度算法的重要工具。 其次,本文考虑了具有三个不定系数的常微分方程,通过构造合适的Layapunov函数,证明了三个系数在满足什么条件下,该微分方程能够快速收敛。值得注意的是,该微分方程涵盖了现有的三种流行的微分方程,或者说,三种流行的微分方程可以看作是不定系数微分方程的特殊情形。 最后,本文对于该不定系数的常微分方程,采用了三种不同的离散格式:显式欧拉格式、隐式欧拉格式及辛欧拉格式进行离散,分别得到了三种不同的优化算法迭代格式。通过构造合适的Layapunov函数,分别证明了算法的收敛速率。其中当目标函数为μ-强凸函数时,由隐式欧拉格式和辛欧拉格式得到的优化算法起到了对原先算法的加速作用。在CUTest数据集上验证了三种算法的数值表现,并与NAG算法及其他加速梯度算法进行了对比,证明了所提出的算法不仅在理论上能够快速收敛,还具有优秀的数值表现。