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关键词： 无穷维常微分方程   高维(交错)离散卷积   组合分析   空间拟周期解  

摘要： 本文主要研究非线性偏微分方程的空间拟周期Cauchy问题,特别是非线性色散偏微分方程.该问题的核心是求解高维(交错)离散卷积型无穷维常微分方程的Cauchy问题,我们运用精确的组合分析技术,建立了(局部)存在唯一性. 本文由三章组成,主要内容如下: 第一章是全文的绪论部分,主要介绍了概周期空间结构、KdV方程与Deift猜想、非线性Schr(?)dinger方程、主要工作及贡献、证明方法及框架和全文安排. 第二章主要研究广义KdV方程的空间拟周期Cauchy问题.在Fourier空间指数衰减的假设下,运用组合分析技术,证明了该问题的局部存在唯一性.从技术角度来看,该部分的主要贡献之一是:建立了实值高次幂律非线性的组合结构以及Feynman图. 第三章主要研究非线性Schr(?)dinger方程和导数非线性Schr(?)dinger方程的空间拟周期Cauchy问题.运用组合分析技术,在Fourier空间多项式衰减的假设下,证明了非线性Schr(?)dinger方程空间拟周期Cauchy问题的“全局”存在唯一性;在Fourier空间指数衰减的假设下,证明了导数非线性Schr(?)dinger方程空间拟周期Cauchy问题的局部存在唯一性.从技术角度来看,该部分的主要贡献是:(ⅰ)建立了复值高次幂律非线性的组合结构以及Feynman图和*[·]-幂次标记法;(ⅱ)建立了多项式衰减框架下的组合分析.

关键词： Nesterov加速   加速梯度算法   常微分方程   Layapunov 函数  

摘要： 随着人工智能功能的日益强大,对机器学习、深度学习的研究也日趋完善。深度学习的核心问题是求解优化问题,而随着当前实际问题规模的日益扩大,一阶优化算法由于只需要函数的梯度信息及函数值,运算成本相对较低,在机器学习等领域被广泛应用,设计新的加速梯度算法是加快问题求解的关键。 首先,本文介绍了几种常见的一阶优化算法,以及如何将一阶优化算法与常微分方程联系在一起。由于一阶优化算法与常微分方程间具有紧密的联系,常微分方程是解释加速梯度算法加速原理的重要手段,也是设计新的加速梯度算法的重要工具。 其次,本文考虑了具有三个不定系数的常微分方程,通过构造合适的Layapunov函数,证明了三个系数在满足什么条件下,该微分方程能够快速收敛。值得注意的是,该微分方程涵盖了现有的三种流行的微分方程,或者说,三种流行的微分方程可以看作是不定系数微分方程的特殊情形。 最后,本文对于该不定系数的常微分方程,采用了三种不同的离散格式:显式欧拉格式、隐式欧拉格式及辛欧拉格式进行离散,分别得到了三种不同的优化算法迭代格式。通过构造合适的Layapunov函数,分别证明了算法的收敛速率。其中当目标函数为μ-强凸函数时,由隐式欧拉格式和辛欧拉格式得到的优化算法起到了对原先算法的加速作用。在CUTest数据集上验证了三种算法的数值表现,并与NAG算法及其他加速梯度算法进行了对比,证明了所提出的算法不仅在理论上能够快速收敛,还具有优秀的数值表现。

摘要： In this paper, we get a necessary and sufficient condition such that a class of differential inequalities hold. Using this necessary and sufficient condition, we prove that a class of first order nonhomogeneous ordinary differential equations have the Hyers-Ulam stability. And then, we prove that some first order nonhomogeneous ordinary differential equations and some second order nonhomogeneous ordinary differential equations do not have the Hyers-Ulam instability under some suitable conditions.

关键词： 耦合系统   常微分方程   偏微分方程   连续反馈控制   稳定性分析  

摘要： 随着控制理论和计算机技术的迅速发展，复杂系统控制理论在实际生产与生活中得到广泛应用。这些复杂的控制理论和方法往往依赖于对系统的准确建模。传统的动态系统建模方法主要分为两类：一类是用常微分方程(ordinary differential equation,ode)描述的集中参数系统，这类系统简单直观，方便控制设计和分析;另一类是考虑系统空间特性的分布参数系统，它能够用偏微分方程(partial differential equation,pde)描述实际物理现象，适用于需要考虑空间变化的系统建模。除此之外，还有集中参数耦合分布参数系统，它结合了集中参数系统和分布参数系统的优点，用于对更复杂系统的建模与分析。因此，本文针对一类ode-pde耦合系统的控制方法和稳定性展开研究，具体内容分为以下三部分：　　第一部分对ode-pde耦合系统的连续反馈控制问题进行了研究。以ode-热方程耦合系统和ode-波动方程耦合系统为模型，通过采用backstepping方法，将复杂的不稳定耦合系统转化为稳定的耦合系统。在此过程中，对核函数和向量值函数进行求解，得出了所需的连续反馈控制律的解析表达式。借助李雅普诺夫第二法，证明了闭环系统的稳定性。最后，以一个二阶常微分方程分别和热方程、波动方程耦合为研究对象，在MATLAB仿真平台上对这种连续反馈控制器的控制效果进行了数值仿真验证。　　第二部分在利用连续反馈控制器控制ode-pde耦合系统的基础上，进一步考虑了事件触发控制方式。与连续反馈控制方式相比，事件触发控制可以有效减少控制任务的执行频率，实现重要通信资源的节约。因此，针对ode-热方程耦合系统模型，提出了事件触发控制策略，并采用动态触发条件实现了连续时间控制器的事件触发。该触发条件决定了控制输入需要更新的时间，并证明了在两个连续的触发时刻之间存在严格正的最小停留时间，从而避免了Zeno现象。通过李雅普诺夫第二法验证了在事件触发机制下ode-热方程耦合系统的稳定性。最终通过数值仿真验证了事件触发控制器的有效性。　　第三部分研究了具有Neumann边界条件的ode-热方程耦合系统和ode-波动方程耦合系统的状态同步问题。提出了一种基于自适应比例积分(Proportional Integral,PI)控制策略的同步控制协议，旨在实现这种耦合的多智能体系统状态一致性。在同步控制协议中，引入了PI形式的参考信号，使得系统的输出信息能够随参考信号的变化而调整，同时确保了pde部分同步状态值与参考信号初始值的平均值一致。通过利用李雅普诺夫第二法分析并保证了闭环系统的稳定性。最后通过数值仿真结果验证了控制算法的正确性。

关键词： 翻转课堂   《常微分方程》   双语课程   教学效果  

摘要： 本研究通过在双语环境下实施翻转课堂教学模式，探讨了《常微分方程》课程的建设与实践。通过对现状的调查与分析，制定相应的对策，并详细介绍了在课程设计和实施过程中的教学模式构建。通过对策略的检测和数据分析，发现翻转课堂教学模式在提高学生学习兴趣、促进学生参与度和提高学习成绩方面具有显著的优势。通过翻转课堂教学模式，可以有效提高《常微分方程》双语课程的教学质量和学生的学习效果，为《常微分方程》双语课程的建设提供一种新的教学模式和实践路径。

关键词： 立德树人   思政教育   “双一流”   常微分方程  

摘要： 常微分方程课程的思政教育，旨在将思想政治教育元素有机融入常微分方程教学中，同时挖掘与思想政治教育相关的内容。这种有机结合的教学方法旨在提高学生对常微分方程课程的学习兴趣，培养他们独立、理性的逻辑思维能力和数学专业素养，更好地实现立德树人的根本任务。

关键词： 复杂动态网络   动态图神经网络   常微分方程   超网络   信息溯源  

摘要： 复杂动态网络广泛存在于现实世界中,将人们以各种各样的方式连接起来并影响着人们的生活。这种广泛的实际应用使人们越来越重视对复杂动态网络的分析与管理,通过分析和管理复杂动态网络可以使人们掌握有关网络状态、属性以及演化趋势等信息,进而有助于进行资源优化和决策制定。由于人们在复杂动态网络中会产生大量的事件,使得研究事件的演化模式成为分析和管理复杂动态网络的重要方式。社交网络作为一种典型的复杂动态网络,它使人们的交流变得更加快速和便利。但是这也加剧了谣言或恶意信息的传播,对社会产生巨大危害。准确溯源这类恶意信息并切断其传播路径对于社会稳定有着重要意义。因此,本文对复杂动态网络中的事件演化与溯源进行了深入研究,主要包括以下两个方面: (1)基于常微分方程和超网络的复杂动态网络事件演化模型:当前面向复杂动态网络的事件演化研究主要利用图神经网络(GNN)和循环神经网络(RNN)建模网络结构以及实体表示在时间上的演化模式,然后使用这些模式推断未来事件的演化。但是这些方法没有考虑到网络结构稳定时网络中依旧存在着信息传播过程,这会对实体产生连续、非线性的影响。另外,这些方法利用单一模型处理所有事件,忽略了事件之间因背景信息和时间信息不同而产生的差异,即事件的个体特征。为了解决这些问题,本文出了基于常微分方程和超网络的事件演化模型ODEH。该模型首先利用基于图神经网络的常微分方程模拟网络结构稳定时的信息传播过程和实体特征通道之间的交互,进而建模事件对实体的连续、非线性影响。然后,采用消息传递机制建模网络结构发生变化时事件对实体的瞬时、离散影响,以补充事件的演化模式。最后,引入超网络对事件强度进行微调,以建模事件的个体特征。本文将ODEH应用于事件预测任务以实现对未来事件的预测,在多个数据集上进行对比实验和消融实验,实验结果表明ODEH的性能优于其它基线方法,证明了模型的有效性。 (2)基于标签传播和常微分方程的复杂动态网络溯源模型:针对面向复杂动态网络的溯源研究,目前常用的方法是基于信息传播的特征和标签传播思想实现在底层传播模型未知情况下的溯源。但是这些方法主要基于静态网络进行溯源研究,忽略了现实网络的动态性。此外,仅用节点的感染状态作为节点标签会导致标签信息过少,进而影响了溯源的准确性。为了解决上述不足,本文出了基于标签传播和常微分方程的溯源模型ODESI。该模型首先为网络中的节点分配初始整数标签,以表示节点的感染状态。然后,利用标签扩展算法将整数标签扩展成向量标签,使向量标签的不同维度表示节点的不同信息,丰富了标签信息。最后,利用常微分方程和消息传递机制实现向量标签在复杂动态网络中的传播并根据传播结果定位信息源的位置。本文设计了多个实验对出的溯源模型ODESI的性能进行验证,实验结果证明了模型的优越性以及其组成模块的有效性。