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关键词： Interpolation  

摘要： A new six-step block method for solving second order initial value problems of ordinary differential equations is proposed using interpolation and collocation strategies. In developing this method, the power series adopted as an approximate solution is employed as interpolation equation while its second derivative is used as collocation equation. In addition, the stability properties of the developed method are also established. The numerical results reveal that the new method produces better accuracy if compared to existing methods when solving the same problems.

关键词： 数学建模   思想   常微分方程   教学   探讨  

摘要： 作为高等数学中的一门基础课程,常微分方程是专门用来描述客观事物的数量关系的重要模型。当前传统的常微分方程教学方法不利于充分激发和提高学生的学习兴趣和主动性,给教师的教学也带来一定的难度。为克服这些问题,笔者将从数学建模的角度出发,将数学建模思想融入常微分方程的教学过程中,对常微方程的教学进行改革和创新。

关键词： Power series   Interpolation   Collocation   Block Method   Ordinary Differential Equations  

摘要： This article considers the derivation of an implicit block method for the solution of initial value problems of ordinary differential equations directly. The method of interpolation and collocation is adopted in developing the method where approximated power series of the form y(x) = Sigma(k+2)(j=0)a(j)x(j) is used as an interpolation polynomial and its second derivative is collocated at the selected grid points where k=5. The method developed is zero stable, consistent and convergent. The generated numerical results show that the new method is better when compared with the existing methods of the same step-length in terms of error.

关键词： fractional derivative   composite with fractional integrals and derivatives   the iterative scheme  

摘要： 1引言分数阶微积分在1695年被莱布尼茨提出后,经过数学家Euler、Laplace、Lacroix、Fourier等的发展推动下,促进了分数阶微积分缓慢发展,1974年美国数学家Oldham和Spanier发表第一本关于分数阶微积分理论的专著.近二三十年,由于分数阶微积分被非常成功的应用于高能物理、反常扩散、复杂黏弹性材料力学本构关系、系统控制、流变学、地球物理、生物医学工程、经济学等诸多领域的建模[1、2],从而使分数阶微积分及其应用在国内外引起广泛的关注和研究.由于分数阶微积分算子是一种非局部算子,具有

关键词： B?cklund变换   双线性化   常微分方程   非凸松弛解  

摘要： 研究采用B?cklund变换的双线性化常微分方程非凸松弛解分析问题，双线性化常微分方程非凸松弛解是保证模型平稳分布和存在性的重要因素，从而提高许多模型在不同边界条件下的稳定特性。把双线性化常微分方程的非凸松弛解算子进行敏感域分析表征，采用B?cklund变换进行目标函数统一迭代，得到非凸松弛解的3种核函数分别是线性核函数、多项式核函数和高斯核函数。计算双线性化常微分方程的非凸松弛解的对称广义中心的稳定性平衡点，计算线性化常微分方程的非凸松弛解满足的边界条件，通过B?cklund变换扩展欧几里得算法，实现对非凸松弛解的稳定性和收敛性的证明，得到在不同多向增量式和减量式分析下，采用B?cklund变换的双线性化常微分方程非凸松弛解是收敛和稳定的。

关键词： 常微分方程   块方法   函数拟合   配置法   变系数  

摘要： 常微分方程在物理科学、生物科学、工程学和经济学等学科具有广泛的应用。然而,许多常微分方程的解析解很难得到,因此研究如何利用数值方法获得方程的近似解具有重要的理论价值和实际意义。目前,用于求解常微分方程初值问题的数值方法主要有Runge-Kutta方法、线性多步法、块方法、边界值方法等等。这些方法的主要特点是具有常系数,且对多项式形式的解能进行精确计算。近年来,许多学者研究了变系数的数值计算方法,它要求数值解对以三角函数、指数函数或者它们与多项式的组合作为基函数的解是精确的。相较于常系数数值方法,变系数数值方法在求解某些常微分方程初值问题时更具优势,特别是当微分方程的解具有明显的指数衰减性、周期性或震荡性时。本论文旨在基于块隐式单步法构造求解一阶和二阶常微分方程初值问题的函数拟合块方法,分别研究函数拟合块方法的收敛性及稳定性。主要内容如下:第一章简要介绍常微分方程的基本概念和基本理论。第二章主要介绍求解常微分方程的经典数值方法(包括龙格库塔法和线性多步法)、块方法和函数拟合方法的国内外研究现状。第三章旨在构建求解一阶常微分方程初值问题的函数拟合块方法。首先,基于Shampine和Watts[101]提出的常系数块隐式单步法,提出了一类新的依赖于时间和步长的变系数块方法(即函数拟合块方法),给出了该方法存在的两个充分性条件,讨论了方法的系数矩阵与时间无关的条件以及块方法与配置法的等价关系。其次,应用泰勒展开公式,通过细致分析该方法的性质,得到了方法的收敛阶。针对不同的基函数,讨论了方法的线性稳定性等问题。最后,我们给出一些数值例子来验证理论分析的正确性和函数拟合方法的有效性。第四章旨在构建求解二阶常微分方程初值问题的函数拟合块方法。首先,构造了一类新的依赖于时间和步长的函数拟合块方法,给出了该方法存在的充分条件以及系数矩阵与时间无关的条件。其次,应用泰勒展开公式得到了方法的收敛阶。针对不同的基函数,讨论了方法的线性稳定性等问题。最后,通过数值例子验证函数拟合块方法的有效性。最后,我们给出了本论文的主要结论并提出未来工作的设想。

关键词： 常微分方程   广义Green函数   锥   同伦延拓方法   可解性  

摘要： 本文借助广义Green函数、锥上的不动点理论以及Leray-Schauder同伦延拓方法,研究了几类常微分方程边值问题的可解性.主要工作有：1.定义并构造了线性二阶周期边值问题的广义Green函数,在此基础上研究了线性二阶周期边值问题的可解性,其中λ=4k2π2,k=1,2,3,…,f:[0,1]→R连续.2.借助Sturm-Liouville问题的广义Green函数,研究了线性四阶边值问题的可解性,其中连续.3.运用锥拉伸压缩不动点理论,研究了非线性四阶边值问题正解的存在性,其中α,β∈R,β<2π2,α≥-β2/4,α/π4+β/π2<1,μ>0,f:[0,1]× (0,+∞)→(0,+∞)连续.4.利用Leray-Schauder同伦延拓方法在Landesman-Lazer条件下,研究了非线性二阶周期边值问题的可解性,其中f∈L2(0,1),9：R→R连续.

关键词： 微分方程   应用   医学模型  

摘要： 微分方程是数学分析的一个重要分支,本文通过对一些医学模型的分析,说明了常微分方程在医学上的应用。随着人类的进步,科技的发展,以及社会的日趋数字化,微分方程应用的领域越来越广泛,相关的数学内容越来越丰富。

关键词： ANALYTICAL solutions (Mathematical analysis)   ORDINARY differential equations   INTEGERS   COMPUTER simulation   MATHEMATICAL models  

摘要： We make use of the so-called Sumudu transform method (STM), a type of ordinary differential equations with both integer and noninteger order derivative. Firstly, we give the properties of STM, and then we directly apply it to fractional type ordinary differential equations, both homogeneous and inhomogeneous ones. We obtain exact solutions of fractional type ordinary differential equations, both homogeneous and inhomogeneous, by using STM. We present some numerical simulations of the obtained solutions and exhibit two-dimensional graphics by means of Mathematica tools. The method used here is highly efficient, powerful, and confidential tool in terms of finding exact solutions.

关键词： 常微分方程   解法   特征   应用  

摘要： 本文主要从常微分方程特征出发,讨论常微分方程的解法,并对常微分方程理论的应用进行探索,不断优化理论,使这门学科的理论更加完善。