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关键词： 常微分方程   数学建模   案例教学  

摘要： 阐述在常微分方程教学中渗透数学建模思想的重要意义,探讨如何把数学建模的教学思想、教学理念、教学内容和相关案例等融入常微分方程的教材和日常教学中.旨在提高学生的学习兴趣和课堂教学效果,推进常微分方程课程的教学改革.

关键词： 常微分方程   龙格库塔法   Simulink仿真  

摘要： 常微分方程求解不仅是《高等数学》中的一个教学难点,同时也是《数学实验》课程中的教学重点及教学难点之一。本文首先介绍数值方法求解微分方程的思想,然后采用龙格库塔算法,通过matlab编程实现并画出图形,并用Simulink仿真模拟,最后实际应用到混沌系统的求解。完成了从应用数学知识建立数学模型、借助于matlab软件解决实际问题的一个过程。

关键词： 常微分方程   数学建模能力   应用能力  

摘要： 常微分方程理论具有较强的应用性,导致教学过程中容易过多强调理论的严密性而忽视实践性与应用性的教学现状,本文从优化教学内容、改进教学方法及制定多元的评价模式三个方面入手探索常微分方程教学中培养学生的数学建模能力和应用能力。

关键词： 常微分方程   光滑性解   拉普拉斯变换   小波匹配  

摘要： 为了优化常微分方程光滑性解的求取过程,提出一种拉普拉斯变换以及小波匹配的常微分方程光滑性解求取方法,采用拉普拉斯变换方法将常微分方程(组)转换成复变数的代数方程(组),通过一些代数运算和拉普拉斯变换表,获取常微分方程的初始光滑性解,将任意函数展开成小波基函数,通过快速离散小波转换技术,塑造常微分方程的近似光滑性解,在运算过程中,在小波展开层次以及自变量区间,使用多层自适应以及多区间自适应方法,对长时间问题进行分段求解,保证在每个时间段上达到所要求的数值精度,提高光滑性解求解的效率和精度。数值实验结果说明,所提方法求解常微分方程光滑解的精度以及长时间性态都优于传统的时间推进方法。

关键词： 常微分方程   高次方程   降阶方法  

摘要： 本文采用新的降阶的方法,把高次常微分方程分解为一次微分方程,通过这种做法可以降低求解难度,理解起来相对简单,减少学习难度。

关键词： 脉冲效应   随机扰动   概周期解   稳定性   生物动力系统   数值模拟   常微分方程  

摘要： 自然界中许多系统状态变量的变化率不仅依赖系统的当前状态，而且与过去某个时刻或过去一段时间的状态有关，对这类系统进行建模时用时滞微分方程或泛函微分方程来代替原来的常微分方程更为合适。另一方面，现实世界中还有许多自然或人为因素会对系统的内在规律带来突然的变化，这些作用时间往往非常短暂，在建模时可视为在某个固定时刻发生，但系统状态在这些时刻却不再连续，因此在对这类系统建模时用半连续的脉冲微分方程来代替连续的动力系统更为合理。此外，现实自然界中许多系统状态变量的变化还会受到环境噪声的影响，这时再用确定的常微分方程来刻画相应的系统也不再合适，而应该用随机微分方程来描述相关问题更为合理。　　因此，本文正是基于上述背景，分别就四类具有时滞、脉冲效应以及随机扰动的混杂生物动力系统进行研宄和讨论：　　1.对一类脉冲输入营养基和具有分布时滞的营养基再生的恒化器模型进行研宄，利用脉冲比较定理、Floquet定理以及微小参数扰动法等技巧得到了系统微生物灭绝周期解全局渐近稳定性的充分判据，另外通过构造合适的Liapunov函数得到了系统的有界性，并在此基础上充分运用分析技巧得到了恒化器中微生物能够连续培养的充分条件。最后对相关理论结果进行数值模拟，并进一步分析了参数变化对微生物灭绝或持久生存的影响。　　2.对一类具有消化时滞和周期脉冲捕获的食物链系统进行研宄，利用脉冲比较定理、微小参数扰动以及微分不等式的技巧等，得到系统具有全局渐近稳定的捕食者灭绝周期解及系统持久生存性的充分条件，并通过数值例子及数值模拟进一步验证了理论结果的正确性和可行性，同时还通过分析及数值实验验证得到了能将害虫数量控制在更低的经济阈值水平之下的控制策略。　　3.对一类具有多时滞和脉冲效应的非自治概周期捕食系统进行研宄，利用多元函数微分中值定理、微分不等式、积分不等式等数学分析技巧，得到了系统持久生存的充分条件。同时，通过构造一系列Liapunov泛函，证明了系统在一定条件下存在唯一的、一致渐近稳定的概周期解。最后通过数值例子及其仿真进一步证实了理论结果的正确性和有效性，并分析了不同脉冲效应和不同时滞对系统动力学行为的影响。　　4.对一类具有脉冲效应和随机扰动的非自治食物链系统进行研宄，利用1沿积分公式、指数鞅不等式、微分不等式等分析技巧得到了系统的灭绝性、非持久生存、均方意义上持久生存、随机持久生存等渐近性质。最后通过一系列数值实验来佐证相关理论结果、观察相关生态学现象，同时还通过数值实验分析讨论了不同强度的脉冲效应和环境噪声对系统的影响。

关键词： 《数学物理方法》   物理专业   工科专业   常微分方程   数学物理方程   专业课程   物理内容   学生学习积极性   数理方法  

摘要： 《数学物理方法》是物理专业和部分工科专业学生必修的一门专业课程。该课程在本科教学中起着承前启后的作用。一方面它是高等数学和普通物理的延伸,从实变函数延伸到了复变函数,由常微分方程扩展到了偏微分方程;另外一方面它为其他后续课程(电动力学、量子力学、固体物理、电磁场理论与微波技术、信号与系统等)提供了基础。通过该课程的学习,使学生掌握处理物理问题的一些基本数学方法,为进一步学习后继课程提供必要的数学基

关键词： 常微分方程   最优化   数值解法   三阶龙格-库塔法  

摘要： 常微分方程广泛应用于工程、生物、物理、控制理论等许多自然学科和经济领域中，而且有许多偏微分方程的问题经过离散空间变量，也可以转化为常微分方程的问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法具有重要的科学意义。　　目前，在常微分方程的数值求解中，龙格-库塔（Runge—Kutta）方法是求解一阶常微分方程的一种重要的数值解法，然而该方法中的自由未知参数选择不同，会得到不同算法,最终得到数值解的精度也不同.在实际应用时,针对不同的工程函数选择合适的求解方法需要有较高的要求,既要考虑到方法的简易,又要减少计算量,同时又不能让截断误差超出指定范围。因此，研究龙格-库塔（Runge—Kutta）最优化方法势在必行。　　根据上面的要求，本文以三阶方法为例来说明了两个问题。首先，利用现有的龙格库塔方法，给出三阶格式系数满足的一般关系式，同时对关系式进行分析，导出一些特殊格式，并引入最优化的方法，确立目标函数，建立了一个非线性最优化模型，对特殊的显式格式的组合系数进行分析，不仅验证了三阶龙格-库塔（Runge—Kutta）方法有较高的精度，而且得到了一些新的结论。其次，在实际计算过程中，为了得到给定精度的数值解，本文利用计算机来选择合理的步长，从而解决了人工选择步长进行计算的盲目性问题。对这两个问题所采用的分析方法也可推广到一般的显式龙格-库塔（Runge—Kutta）方法，步长的选择可运用到其他常微分方程的数值解法中。

关键词： 常微分方程   数学建模   数学模型  

摘要： 常微分方程是17世纪随着微积分发展起来的一种研究连续量变化的工具和解决很多实际问题与数学直接的桥梁的应用学科。牛顿证实地球公转的轨道是椭圆形的就是通过对常微分方程进行求解得出的。海王星的发现也是科学家在解开常微分方程得出的结论,事实上确实是通过这样发现了海王星的存在。

关键词： RUNGE-Kutta formulas   ORDINARY differential equations   STABILITY theory   NUMERICAL analysis   ROBUST control   PROBLEM solving  

摘要： A Runge-Kutta type method for directly solving special fourth-order ordinary differential equations (ODEs) which is denoted by RKFD method is constructed. The order conditions of RKFD method up to order five are derived;based on the order conditions, three-stage fourth-and fifth-order Runge-Kutta type methods are constructed. Zero-stability of the RKFD method is proven. Numerical results obtained are compared with the existing Runge-Kutta methods in the scientific literature after reducing the problems into a system of first-order ODEs and solving them. Numerical results are presented to illustrate the robustness and competency of the new methods in terms of accuracy and number of function evaluations.