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关键词： PBGS教学模式   常微分方程几何理论与分支问题   课程改革  

摘要： 常微分方程几何理论与分支问题是高校应用数学专业研究生必修课程之一。作为现代数学的重要分支，它在物理学、微分几何、计算数学、计算机图形学、图像处理等领域发挥着关键作用。不仅如此，在边缘科学领域如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等方面也有着重要的应用。随着信息技术的飞速发展和教学模式的不断优化，传统的教学方式已经无法完全满足应用数学专业研究生的学习需求。通过引入基于项目的团队学习教学方法，促进学生的自主学习，提高学生的问题解决能力和团队合作意识，这种教学模式可以更好地满足高校应用数学专业研究生的学习特点和发展需求。

关键词： 常微分方程反演   深度神经网络   非自治常微分方程   自治常微分方程   多步神经网络  

摘要： 本文针对常微分方程的反演问题,设计并构建了一种基于深度神经网络的常微分方程反演算法,开展了算法设计、算法性质证明和相关数值实验等方面的研究,主要包括: (1)设计并改进了一种基于多步神经网络的非自治常微分方程的反演算法 把用于自治常微分方程反演的基于线性多步法的多步神经网络进行改进,优化了多步神经网络的损失函数和训练数据形式,将非自治常微分方程转变为自治常微分方程的形式,利用神经网络对原方程中的函数进行拟合,以实现从数据中提取内含的非自治常微分方程,并介绍了改进算法的误差界。 (2)将改进的算法拓展应用于自治常微分方程 将改进的非自治常微分方程的反演算法拓展应用于自治常微分方程,使用改进算法的损失函数和训练数据形式,利用神经网络对原方程中的函数进行拟合,实现从数据中提取内含的自治常微分方程。 (3)数值实验 将数据加上不同强度的噪声,使用本文的改进算法与多步神经网络对几类非自治和自治常微分方程进行反演。对训练得到的方程求解得到数值解,计算数值解和真实解之间的均方误差和平均绝对误差;将数值解代入训练得到的方程得到的导数的近似值,将代入给定的常微分方程中的得到导数的真实值,计算近似值与真实值之间的均方误差和平均绝对误差。结果表明本文的改进算法对原方程中函数的泛化误差小于多步神经网络,从而验证了改进算法的泛化能力和鲁棒性。

关键词： B样条   非线性常微分方程   变量选择   基因调控网络  

摘要： 基因调控网络(Gene Regulatory Network,GRN)是一种描述基因之间相互作用的复杂网络结构。在生物学中,基因调控网络描述了基因之间的调控关系,这些调控关系可以用网络来表示,其中基因可以被视为节点,调控关系可以被视为节点之间的边。基因调控网络的研究有助于理解基因调控的机制,揭示基因之间的相互作用关系以及在疾病发生和发展中的作用。在实验中,虽然可以发现基因之间的关系,但这只是完整关系中的一部分,难以重建完整的基因调控网络。因此,利用基因表达数据和已知的调控关系通过动态模型揭示基因之间潜在的关联性这一想法对于整合和重构GRN至关重要。 此外基因之间的关系并非只有简单的线性调控,非线性动态模型广泛用于表征控制复杂生物系统的过程,其中既涉及非线性泛函,也涉及双向相互作用。因此在本文中,我们探索了一种新的考虑交叉项的非线性常微分方程参数估计方法,针对带有交叉项的动态模型进行推断。对此本文开展的主要工作如下: 第一部分本文选择两阶段搭配方法,利用B样条基展开来近似函数的线性项,B样条曲面展开来近似交叉项,在第一阶段将最小二乘法和样条展开相结合得到基展开的估计。同时为了提高估计效率本文采用了积分估计,得到估计的基函数展开的积分。第二步中将积分结果代入Group LASSO模型,得到最终估计值。最后基于SIR型流行病学模型、经典Lotka-Volterra模型及其改进模型做数值模拟与传统非线性最小二乘法(NLS)和可分离非线性最小二乘法(SLS)进行比较,数值模拟结果表明本文提出的方法在处理非线性常微分方程参数估计问题中要优于NLS和SLS法。 第二部分考虑将本文提出的方法应用于酿酒酵母菌基因数据,重构酿酒酵母菌非线性基因调控网络。首先对基因数据进行聚类,识别出具有相同表达模式的共表达基因模块,并将识别到的基因模块数据用于本文提出的非线性常微分方程参数估计方法。最终得到酿酒酵母菌非线性基因调控网络,分析了不同基因模块之间的双向调控、共同调控和自调控等调控关系。基因的真实表达曲线图表明了该方法良好的估计效果,最终估计得到的非线性基因调控关系与单纯的线性调控关系相比结果更加丰富。

关键词： 常系数线性常微分方程组   矩阵指数函数   中心差分算子   乘积积分法   奇点消去法  

摘要： 常微分方程组(ODEs)作为一种重要数学工具，可以描述工程，社会和自然等现象中的动态系统.如在工程学中是流体动力学等系统的基础，在经济学中可以对金融衍生品等建模，且广泛应用于模拟热传导等物理现象.然而有的常微分方程组无法求得其解析解，或者解析解的表达式过于复杂而难以计算.要解决这个问题，应用数值方法近似求解常微分方程组是一个有效的手段.　　众所周知，常系数线性常微分方程组初值问题的解析解(AnalyticSolution,AS)中包含有矩阵指数函数和以矩阵指数函数乘向量值函数为被积函数的积分.本论文主要考虑其中的积分项的数值积分方法.特别地，本文将考虑乘积积分(ProductQuadrature,PQ)方法和结合奇点消去法(SingularityElimination,SE)的Gauss-Legendre求积公式.在第二章，我们将详细推导PQ方法的计算过程并分析其收敛性，并说明SE方法相对于原始的Gauss-Legendre求积公式的优越性.然后将本文提出的数值积分方法应用于热传导方程和Riesz空间分数阶扩散方程的初-边值问题.采用中心差分算子离散空间二阶导数或者加权移位Grünwald差分(WSGD)算子离散空间分数阶导数，可以将热传导方程或者Riesz空间分数阶扩散方程的初-边值问题转换为常系数线性常微分方程组的初值问题.由于上述常微分方程组的系数矩阵是对称的，我们通过其正交对角化计算矩阵指数函数.数值实验验证了本文提出数值积分方法的有效性.　　在第三章，我们讨论系数矩阵为非对称且特征值的实部非正的情形.在应用乘积积分方法近似计算解析解中的积分时，关键问题是求解矩阵指数函数乘向量和求解相关的线性方程组.我们采用逆Arnoldi方法计算矩阵指数函数与向量的乘积.特别地，对于空间分数阶偏微分方程的初-边值问题，我们可以应用系数矩阵的Toeplitz-like结构构造相应的快速算法.最后用数值实验说明了乘积积分算法的有效性.

关键词： 单细胞数据   细胞分化轨迹   RNA速度   深度神经网络   常微分方程  

摘要： 细胞分化是基因表达的基本生物过程,探究细胞分化的内在机制具有极其重要的生物学意义。特别是研究细胞分化过程中命运决策、推断细胞分化轨迹,将有助于理解细胞分化的内在机制。同时,细胞分化与细胞发育、疾病治疗等密不可分。本文拟基于单细胞测序数据,通过推断细胞分化轨迹,研究细胞命运决策,进而揭示细胞分化机制,文章结构安排如下: 第一章,绪论部分,主要介绍细胞分化的研究背景以及研究现状,将着重介绍利用单细胞转录组学数据研究细胞分化的研究现状。在此基础上,我们着重介绍细胞轨迹推断方法和RNA速度方法,并讨论了两者之间的优缺点。 第二章,主要介绍有关细胞转录分化、RNA速度的理论背景知识、相关算法,比如线性回归算法、EM算法、深度神经网络等。为后续的研究工作提供理论基础和算法模型。 第三章,主要研究几类重要的RNA速度数学模型方法,并对这些模型方法进行分析讨论。分析发现现有方法的缺陷,如极度依赖对未剪接和剪接的m RNA的估计测量,无法真正估计未剪接和剪接的m RNA的丰度,从而导致对RNA速度估计的影响,进而影响细胞分化轨迹推断以及下游分析。 第四章,通过引入额外的信息,完整利用单细胞基因表达数据,我们提出一种新的RNA速度模型方法称为WF-velo,能够克服现有数学模型方法的缺陷。建模方面,通过构建微分方程组来表示细胞分化中基因RNA转录的动态过程。利用深度神经网络和Adam优化算法对模型的参数进行求解,以揭示基因随时间RNA速度的动态变化。数字模拟方面,利用WF-velo RNA速度模型方法对单细胞数据进行模拟。成功获得细胞沿着伪时间分化的轨迹图,并分析基因沿着伪时间RNA速度的变化。数字模拟的结果验证了所建模型的准确性,为进一步深入理解了细胞命运决策的内在机制提供了重要的参考。 第五章,对本文进行总结和展望。希望通过本文的研究,发展新的RNA速度模型方法,更好地研究细胞分化机制。