关键词：
流体-板相互作用
非线性弹性/热弹性板
不可压缩和可压缩Navier-Stokes方程
弱解的存在性
摘要：
在此博士论文中,我们研究流体与薄弹性结构之间相互作用的数学问题,主要目的是证明当结构由非线性平板方程描述时,该相互作用问题弱解的存在性。更具体而言,我们将建立不可压缩或可压缩粘性流体与弹性或热弹性非线性板相互作用问题的弱解存在性。
在第一章,我们首先介绍了流固耦合问题,然后介绍了几类非线性平板模型和流体模型。然后,我们对流固耦合问题已有的一些数学理论进行了回顾。在本章的最后,简要叙述此博士论文中研究的几类流固耦合问题、论文得到的主要研究结果,并给出了该论文的组织构架。
在第二章中,我们研究了不可压缩粘性流体与半线性弹性板的相互作用问题,构造了该问题的弱解。这是通过发展[61-65]中给出的“时间半离散化+算子分解”寻找近似解格式来实现的,该格式将原有的不可压粘性流体与半线性弹性板相互作用问题解耦为流体子问题和结构子问题。由于一般而言,问题中较强的非线性性对时间半离散化格式通常不容易得到合适的估计;因此,对此问题研究的关键困难是建立近似解的能量有界性。为了克服这一困难,我们解决的思路是对相应的结构子问题使用“时间连续+空间有限基展开”的方法,同时流体子问题是分段稳态的——从而提出了我们的混合逼近方法。我们分析了该混合逼近方法,得到了一个形如△t=△t(k)的稳定性条件,其中△t为时间步长,k为有限基函数的个数。
第三章研究了不可压缩粘性流体与半线性/拟线性热弹性板的相互作用问题。对于该问题,将第二章所构造的格式发展到包含板的热方程,得到了该问题弱解的存在性。此时,对热弹性板的弹性力具有F(ω)=(△ω)3形式的拟线性情形也进行了研究,其中ω为板的横向位移。对于这种高阶非线性,利用由此非线性函数导出相应泛函的极大单调性,并利用弱紧性定理证明了近似解的收敛性。
第四章研究了可压缩粘性流体与半线性/拟线性热弹性板的相互作用问题。该流固耦合问题弱解的存在性是通过构造一个新的解耦方法,它关于时间t是连续的,质量守恒方程是在固定参考区域(Eulerian-Lagrangian坐标表示下)上附加一个人工阻尼项。相应的流体子问题和结构子问题的构造,使它们几乎保持原有的流体方程和结构方程的特性,并且近似解的能量类似于原始问题的能量是有界的。这使得可压缩粘性流体的经典理论可同样应用于我们的问题。这儿给出的构造渐近解格式是可压缩粘性流体与弹性板/壳相互作用的第一个解耦格式,这也是可压缩粘性流体与非线性板/壳相互作用的第一个弱解存在性结果。
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