关键词:
总体最小二乘法
加权总体最小二乘法
稳健加权总体最小二乘法
测量数据处理
摘要:
在现代科学与工程领域实际应用中,观测向量和系数矩阵的误差是不可忽视的,这给传统的最小二乘法(Least Squares,LS)带来了挑战。为了提高参数估计的精度和鲁棒性,各种优化方法不断出现,其中包括总体最小二乘法(Total Least Squares,TLS)、加权总体最小二乘法(Weighted Total Least Squares,WTLS)和稳健加权总体最小二乘法(Robust Weighted Total Least Square,RWTLS)。这些方法通过考虑观测数据的不确定性和异常值的影响,使得参数估计更加准确可靠。因此,本文围绕TLS及其改进方法在测量数据处理中的应用效果,开展了相应的理论与应用研究。
(1)阐述了同时考虑观测向量和系数矩阵误差的TLS算法,包括奇异值分解法和迭代法,并通过直线拟合算例验证了TLS相对于传统LS方法的优越性。针对数据不等精度特点,总结了基于变量误差(Errors in Variables,EIV)模型和部分变量误差(Partial-Errors in Variables,P-EIV)模型的WTLS方法,并通过实验验证了其在处理不等精度数据时的合理性和有效性。
(2)针对观测数据中存在粗差的情况,在IGGⅢ权函数基础上进行细化权值分配区间,提出了改进IGGIII权函数的稳健加权总体最小二乘法(RWTLS-IGGⅢ-D)。该方法充分利用稳健估计中的可利用信息,有效提升了抵抗粗差的能力,增强了参数估计的鲁棒性和准确性。通过仿真和实际数据实验,验证了RWTLS-IGGⅢ-D相较于传统LS和TLS方法以及其他RWTLS方法,在相同条件下具有更高的参数估计精度。特别地,在分别随着粗差数量和粗差大小的增加,RWTLS-IGGⅢ-D的参数估计精度随之下降较为缓慢,整体表现稳健,受粗差影响较小。因此,RWTLS-IGGⅢ-D方法相较于文中其他方法表现出更佳的抗差性能,拟合精度更高,综合效果更优。
(3)为综合验证TLS在测量数据处理中的应用效果,分别以GM(1,1)模型沉降预测、坐标转换、平面拟合和曲面拟合等数据处理为例,将LS、TLS、WTLS和RWTLS分别进行了应用研究,实验结果表明,在GM(1,1)沉降预测、坐标转换数据处理中,WTLS相对于LS和TLS能够有效改善测量数据处理的性能,获得了结果更加可靠有效;在平面拟合和曲面拟合应用中,RWTLS-IGGⅢ-D方法展现出对参数估计中粗差的抗差性能效果最佳,从而提高了平面和曲面拟合结果的精度。这进一步证实了RWTLS在面对异常值时表现出更好的鲁棒性。
通过对TLS在测量数据处理的应用研究,总结了TLS平差理论,改进了抗差IGGⅢ权函数、提升了数据处理结果稳健性,丰富了测量数据平差处理的应用范围,获得了TLS在测量数据处理应用中效果较优的初步结论,为TLS的进一步研究与应用拓展奠定了基础。