关键词:
混沌边缘
多参数
Melnikov方法
哈密顿系统
机械动力系统
摘要:
自上世纪六十年代以来,混沌研究作为一门新的学科,得到了很大的发展,它与许多传统学科形成交叉科学,越来越受到研究者们的重视,并取得了许多研究成果。在工程领域,混沌运动的影响也是不可忽视的。混沌边缘存在于动力系统周期运动与混沌运动之间的区域,是动力系统产生复杂行为的来源。因此研究混沌边缘,可以发现和掌握动力系统产生混沌运动的机理和规律,对于混沌的研究具有重要的理论意义和实际工程意义。目前,对于混沌边缘的研究大多只限于利用数值仿真的方法,得到动力系统关于单个参数的混沌边缘,而利用解析方法确定多个参数动力系统的混沌边缘的研究却比较少见。Melnikov方法作为研究动力系统混沌现象的一种非常实用的解析方法,尽管已经得到了很大的发展和改进,但目前还没有将其应用到研究动力系统的混沌边缘的相关研究的报道。为此,本文以一类具有类似的动力学方程机械动力系统,即Duffing系统、非线性单摆系统和微悬臂梁动力系统,作为研究对象,对Melnikov方法在多参数机械动力系统混沌边缘中的应用进行研究,试图探索出一种确定多参数动力系统混沌边缘的解析方法。为此,本文主要开展了如下方面的研究:1、研究了同宿轨道和异宿轨道理论,以及哈密顿系统的一些基本性质,对Melnikov方法进行了深入的研究,以奠定后续的研究工作的理论基础。2、Duffing系统、非线性单摆系统和微悬臂梁动力系统均属于微扰哈密顿系统。本文以这三种机械系统为研究对象,对利用Melnikov方法确定这类机械动力系统混沌边缘进行了研究,得到了系统混沌边缘的参数关系式,画出了靠近系统混沌边缘的曲线。通过数值仿真,不仅验证了所得到的混沌边缘和结论的正确性,而且发现了一些对系统设计有指导意义的规律。3、针对Melnikov方法中求解同宿轨道或异宿轨道的参数方程和Melnikov函数积分的解析解求解比较困难的问题,本文提出了利用MATLAB中的Simulink模块,对Melnikov函数进行数值求解的方法。在对解析解和数值解得到的混沌边缘曲线进行对比可以看出,两者比较吻合。说明本文提出的方法是有效的。本论文的研究表明:Melniko v方法是确定具有微扰哈密顿系统特征的多参数机械动力系统的混沌边缘的一种实用的解析方法,对于其中的难以解析计算的积分问题,能够采用数值求解的方法加以解决。本文的研究,对于确定系统的混沌边缘,从而进一步研究混沌的产生机理和规律、混沌的控制等具有理论和实际应用意义。